Question

В сечение шара вписан равносторонний треугольник со стороной 6 см. расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно 2 см. найдите радиус шара ?

Answer 1

шар
$O-$ центр шара
$w(O_1;r)$ - сечение шара
Δ $ABC-$ равносторонний, вписан в сечение шара
$AB=6$ см
$OO_1=2$ см
$R$ш - ?

$OA=OB=OC=R$ш
Δ $ABC-$ равносторонний
$AB=BC=AC=6$
$O_1-$  центр вписанной и описанной окружностей ( так как у равностороннего треугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают)
$S_{ABC}= frac{a^2 sqrt{3} }{4}$
$S_{ABC}= frac{6^2 sqrt{3} }{4}= frac{36 sqrt{3} }{4} =9 sqrt{3}$ см²
$S_{ABC}=p*r$
$p= frac{AB+BC+AC}{2}= frac{3*AB}{2}= frac{3*6}{2} =9$
$r= frac{S}{p}$
$r= frac{9 sqrt{3} }{9}$
$r= sqrt{3}$ см
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении 2:1 (считая от вершины)
$frac{BO_1}{O_1K}= frac{2}{1}$
$O_1K=r= sqrt{3}$ см
$BO_1=2 sqrt{3}$ см
$BO_1=AO_1$
$OO_1$ ⊥ $(ABC)$
Δ $OO_1A-$ прямоугольный
по теореме Пифагора найдем OA:
$OA^2=OO_1^2+O_1A^2$
$OA^2=2^2+(2 sqrt{3}) ^2$
$OA^2=4+12$
$OA^2=16$
$OA=4$ см
$R$ш$=4$

Ответ: 4 см