Question

Тройная система. Олимпиадное задание
x + (y-2)^2012 = z
y + (z-2)^2012 = x
z + (x-2)^2012 = y

Answer 1

$begin{cases} & x+(y-2)^{2012}=z \ & y+(z-2)^{2012}=x \ & z+(x-2)^{2012}=y end{cases}$

Сложим все три уравнения, получим: $x+(y-2)^{2012}+y+(z-2)^{2012}+z+(x-2)^{2012}=z+x+y Rightarrow$
$Rightarrow (y-2)^{2012}+(z-2)^{2012}+(x-2)^{2012}=0$

Сумма неотрицательных слагаемых(в данном случае — чётных степеней) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Отсюда
$begin{cases} & (y-2)^{2012}=0 \ & (z-2)^{2012}=0 \ & (x-2)^{2012}=0 end{cases} Rightarrow begin{cases} & y-2=0 \ & z-2=0 \ & x-2=0 end{cases} Rightarrow begin{cases} & y=2 \ & z=2 \ & x=2 end{cases}$


Ответ: ${(2;2;2)}$.