Question

доказать неравенство,если х больше 0,у больше 0,l больше 0

Answer 1

Разделим неравенство на 8, получим:
$( frac{1+ frac{x}{y} }{2} )(frac{1+ frac{y}{z} }{2})( frac{1+ frac{z}{x} }{2} ) geq 1$
Как известно, (a+b)/2≥√ab (неравенство Коши). Поэтому:
$frac{1+ frac{x}{y} }{2} geq sqrt{ frac{x}{y} } \ frac{1+ frac{y}{z} }{2} geq sqrt{frac{y}{z} } \ frac{1+ frac{z}{x} }{2} geq sqrt{ frac{z}{x} } \ ( frac{1+ frac{x}{y} }{2} )(frac{1+ frac{y}{z} }{2})( frac{1+ frac{z}{x} }{2} ) geq sqrt{ frac{x}{y} frac{y}{z} frac{z}{x} } =1$
Что и требовалось доказать.