Question

$2cos^2x+1=2 sqrt{2} cos(3 pi /2-x)$
Укажите корни этого уравнения,принадлежащего отрезку [3pi/2;3pi]

Answer 1

$2cos^2 x+1=2sqrt{2}cos(frac{3pi}{2}-x})$
$2(1-sin^2 x)+1=2sqrt{2}*(-sin x)$
$2-2sin^2 x+1=-2sqrt{2}sin x$
$2sin^2 x-2sqrt{2}sin x-3=0$
$sin x=t; -1 leq t leq 1$
$D=(2sqrt{2})^2-4*2*(-3)=8+24=32=16*2=4^2*2$
$t_1=frac{2sqrt{2}-4sqrt{2}}{2*2}=-frac{sqrt{2}}{2}}$
$t_2=frac{2sqrt{2}+4sqrt{2}}{2*2}=frac{3sqrt{2}}{2}>1$ - не подходит

$sinx=-frac{sqrt{2}}{2}$
$x=(-1)^k*(-frac{pi}{4}})+pi*k$
$x=(-1)^{k+1}*frac{pi}{4}+pi*k$, k є Z

....-pi/4; 5pi/4; [3pi/2] 7pi/4; [3pi] 13pi/4
ответ: $frac{7pi}{4}$

Answer 2

2 (1–sin²x) + 1 = 2√2 cos( п + ( п/2–x ) ) ;
2 – 2sin²x + 1 = – 2√2 cos( п/2–x ) ;
2sin²x – 3 = 2√2 sinx ;
y = sinx ;
2 y² – 2√2 y – 3 = 0 ;
D = 2 + 6 = 8 = (2√2)² ;
y = ( √2 ± 2√2 ) / 2
y(1) = –√2/2 ; |y(1)| < 1 ;
y(2) = 3√2/2 ; |y(2)| > 1 ;
sinx = –√2/2 ;
x(n1) = –п/4+2пn ; n in Z ; (первая n-серия)
первая n-серия лежит в IV квадранте.

x(2) = –3п/4+2пn ; n in Z ; (вторая n-серия)
вторая n-серия лежит в III квадранте.

интервал [ 3п/2 ; 3п ] – это IV квадрант первого круга и первая половина (I-ый и II-ой квадранты) второго круга.
Итак подходит только корень x = –п/4+2пn ; n = 1 , т.е.:
x = –п/4+2п = 7п/4.