Ответы
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность заданная соотношениями
bn+1 =bn · q, где bn ≠ 0, q ≠ 0
q – знаменатель прогрессии
Геометрическая последовательность является возрастающей, если b1 > 0, q > 1,
Например, 1, 3, 9, 27, 81,....
Геометрическая последовательность является убывающей, если b1 > 0, 0 < q < 1
Например,
Формула n-го члена геометрической прогрессии
bn = b1 · q n-1
Характеристическое свойство геометрической прогрессии.
Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего, в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов.
bn2 = bn-1 · b n+1
Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна
Сумма n первых членов, бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна
Основные определения и данные для геометрической прогрессии сведенные в одну таблицу:
Определение геометрической прогрессииbn+1 =bn · q, где bn ≠ 0, q ≠ 0Знаменатель геометрической прогрессииФормула n-го члена геометрической прогрессииbn = b1 · q n-1Сумма n первых членов геометрической прогрессииХарактеристическое свойство геометрической прогрессииbn2 = bn-1 · b n+1Пример 1.
Дана геометрическая прогрессия b1, b2, b3, ..., bn, ... .
Известно, что b1 = 2/3, q = - 3. Найти b6
Решение. В этом случае в основе решения лежит формула n-го члена геометрической прогрессии.
Подставив в эту формулу n = 6 получим:
b6 = b1 · q5 = 2/3 · (-3)5 = -162
Ответ -162.
Пример 2.
Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 12, 4, 4/3 , …
Решение
b1= 12, b2= 4,
q = 4/12 = 1/3
S = 12 / (1 - 1/3) = 12 / (2/3) = 12 · 3 / 2 = 18
Ответ 18.
Пример 3.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 150.
Найти b1, если q = 1/3
Решение
150 = b1 / (1- 1/3)
b1 = 150· 2/3
b1= 100
Ответ 100.