Question

А) постройте сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки P, F и М -середины ребер AA1, A1B1 и DC.
Б) Укажите точку пересечения диагонали BD1, с секущей плоскостью.
Решение и рисунок пожалуйста!

Answer 1

Решение:

I. Построим искомое сечение $alpha$:

1. Построим прямую, проходящую через точки P и F и найдём точки $S_1$ и $S_2$ пересечения этой прямой с ребрами $BB_1$ и $AB$, соответственно.

2. Точка $S_2 in alpha$, т.к. прямая $PF in alpha$. Точка $M in alpha$ по условию задачи. Поэтому и вся прямая $S_2M in alpha$. Обозначим через $S_3$ точку пересечения $S_3M$ и ребра $AD$. Точка $S_3 in alpha$, поэтому $PS_3 in alpha$ и $S_3M in alpha$.

3. Найдём точку пересечения $S_3M in alpha$ с ребром $BC$ и обозначим её $S_4$. Имеем: $S_4 in alpha$ и $S_1 in alpha$, причём $S_4 in BB_1C$ и $S_1 in BB_1C$. Значит, точка $S_5 in alpha$ и $S_6 in alpha$,где $S_5$ и $S_6$ являются точками пересечения прямой $S_4S_1$ с рёбрами $CC_1$ и $B_1C_1$, соответственно.

4. Искомое сечение $alpha$ - это $PFS_6S_5MS_3$. 

II. Найдём т. $N$ - точку пересечения сечения $alpha$ с диагональю $BD_1$.

1. Найдём т. $S_7$ - точку пересечения $PS_3$ с продолжением ребра $DD_1$.

2. Прямая $S_1S_7$ одновременно принадлежит сечению $alpha$ и плоскости $BB_1D$, в которой лежит диагональ $BD_1$. Поэтому искомой является т. $N$ - точка пересечениия прямой $S_1S_7$ и диагонали $BD_1$.

Рисунок прилагается.