Question

Найдите значение выражения sin x+cos x, если известно что: tg x+ctg x=5

Answer 1

tgx+ctgx=5
(sin^2x+cos^2x)/sinx*cosx=5
sinx*cosx=1/5
sin^2x+cos^2x+2sinx*cosx=(sinx+cosx)^2
1+2/5=(sinx+cosx)^2
sinx+cosx= +/- √(7/5)

Answer 2

tgx + ctgx = 5
sinx/cosx + cosx/sinx = 5
Умножим обе части уравнения на sinx*cosx.
(sinx)^2 + (cosx)^2 = 5sinx*cosx
Так, как (sinx)^2 + (cosx)^2 = 1,
5sinx*cosx = 1
sinx*cosx = 1/5
Теперь запишем (sinx + cosx)^2 = (sinx)^2 + (cosx)^2 + 2sinx*cosx = 1 + 2/5 = 7/5, откуда
sinx + cosx = √(7/5)
sinx + cosx = -√(7/5)
Решений два, потому что период синуса и косинуса в два раза больше, чем у тангенса и котангенса, что означает, что на одно значение суммы тангенса и котангенса будет два значения суммы синуса и косинуса