Question

Найти три числа, образующие геометрическую погрессию, зная, что сумма их равна  62 , а сумма их квадратов равна 2604.

 

Answer 1

b1+b2+b3=62

b1^2+b2^2+b3^2=2604

 

b1+b1q+b1*q^2=62

b1^2+b1^2*q^2 +b1^2*q^4=2604

 

 x+xy+xy^2=62

x^2+(xy)^2+x^2*y^4=2604

 

 x(1+y+y^2)=62

 x^2(1+y^2+y^4)=2604

 

 первое на второе поделим

 

1+y +y^2/ 1+y^2+y^4=x/42

 42(1+y+y^2)=x(1+y^2+y^4)

42(1+y+y^2)=x(1+y^2+y^2^2)

42/x= y^2-y+1

{xy^2-yx+x=42

{  x+xy+xy^2=62

 

{xy^2=42 +yx-x

{ xy^2=62-xy-x

 

{42+yx-x=62-xy-x

{2yx=20

{yx=10

{y=10/x

 

{x+xy+xy^2=62    ставим

 

{ x+10+100/x=62

{x^2+10x-62x+100=0

{ x^2-52x   +100 =0

 x=2

 x2=50

 

значит b1=2  and b1=50 

q=5

q=1/5 убывающая

 

 

 значит b1=2

 b2=10

b3=50 

 

Проверим 50^2+10^2+2^2  =2604

Ответ   

b1=2

b2=10

b3=50 

 

 

 

 

Answer 2

Можно решать и не выписывая в явном виде все через первый член и q.

 

Пусть числа a,b,c.

a^2+b^2+c^2=2604

a+b+c=62

 

Известно, что для геом прогрессии b^2 = ac

 

Возведем в квадрат второе уравнение.

a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=3844

ab+ac+bc=620

b(a+c)+ac=620

b(62-b)+b^2=620

62b=620

b=10

 

Для определения оставшихся чисел можно решить систему 

a+c=62-b=52

ac=b^2=100

По т.Виета a,c - корни квадратного уравнения t^2-52t+100=0. Отсюда a,c = 2, 50.

 

Ответ: 2, 10, 50.