Question

Решить уравнение x^4+3x^3-13x^2-x+2=0

Answer 1

Вижу оптимальное решение через МНК (метод неопределенных коэффициентов

$x^4+3x^3-13x^2-x+2=0\\ (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=\=x^4+ax^3+cx^3+acx^2+dx^2+bx^2+adx+bcx+bd=\ =x^4+x^3(a+c)+x^2(ac+b+d)+x(ad+bc)+bd\\ left{begin{matrix}&&a &+ &c &=&3\ &ac&+&b &+ &d &= &-13 \&&ad & +& bc&=& -1\ &&&&bd&= &2 end{matrix}right.Longleftrightarrow left{begin{matrix} &&a &= &c &-&3 \ ac&+&b &+ &d &= &-13 \&&ad& +& bc&=& -1\ &&&&bd &= &2 end{matrix}right.$

Путем подбора множителей по последнему уравнению в системе мы пришли к выводу, что

$left { {{b=-2} atop {d=-1}} right.$


$(3c-1)cdot(-1)+(-2)c=-1\ c=-2\\ a=3+2=5$

Подставляем все найденные значения во второе уравнение системы:

$5cdot(-2)+(-2)+(-1)=-13\ -13=-13$

Итак, имеем:

$left{begin{matrix} a&= &5 \ b&= &-2 \ c& = & -2\ d&= &-1 end{matrix}right.$

Уравнение четвертой степени разлагается на два квадратных:

$(x^2+5x-2)(x^2-2x-1)=0$

Здесь нетрудно решить и квадратные уравнения:

$x^2+5x-2=0\ D=25+8=33; sqrt D=sqrt{33}\\ x_{1/2}= frac{-5pmsqrt{33}}{2}\\\ x^2-2x-1=0\ D=4+4=8; sqrt D=sqrt8=2sqrt2\\ x_{1/2}= frac{2pm2sqrt2}{2}= frac{2(1pmsqrt2)}{2}=1pmsqrt2$

Ответ: $x_1=1-sqrt2; x_2=1+sqrt2; x_3= frac{-5-sqrt{33}}{2};x_4= frac{sqrt{33}-5}{2}$