Question

в круг радиуса R вписан квадрат, в квадрат вписан круг, в этот круг вписан квадрат и так n раз. Найти предел суммы площадей всех кругов и предел суммы площадей всех квадратов

Answer 1

Первая площадь круга будет равна

S1 кр=π*R^2

Первая площадь квадрата равна при D-диагональ квадрата

и D=2R

S1 кв=D^2/2=2R^2

Вторая площадь круга

радиус второго круга будет равен R*√2/2, а его площадь:

S2 кр=1/2π*R^2

Для квадрата

S2 кв=R^2

и так далее

Сумма площадей всех кругов:

Sn кругов=π*R^2+π*R^2/2+π*R^2/4+π*R^2/8+...+

+π*R^2/n=π*R^2(1+1/2+1/4+1/8+...+1/n)

 

Сумма площадей всех квадратов

Sn квадратов=2R^2+R^2+2R^2/2+2R^2/4+2R^2/8+...+

+2R^2/n=R^2(2+1+1/2+1/4+1/8+...+1/n)

 

Известно, что предел суммы ряда (1/2+1/4+1/8+...+1/n) при n ⇒∞ равен 1, тогда предел общей суммы кругов:

 

limS кр=π*R^2(1+1/2+1/4+1/8+...+1/n)=π*R^2(1+1)=2π*R^2

и для квадратов:

limSкв=R^2(2+1+1/2+1/4+1/8+...+1/n)=R^2(3+1)=4R^2

По-моему так.