Question

найдите наибольшее и наименьшее значение функции y =cosx - корень3 sinx на отрезке [0;1]

Answer 1

Производная данной функции: $y'=(cos x- sqrt{3} sin x)'=-sin x-sqrt{3} cos x$
Найдем стационарные точки производной функции
$-sin x-sqrt{3} cos x=0~~~|:cos xne 0\ \ -tgx-sqrt{3} =0\ \ tgx=-sqrt{3} \ \ x=- dfrac{pi}{3} +pi n,n in mathbb{Z}$

Корней из отрезка [0;1] нет.

Найдем теперь наибольшее и наименьшее значение функции на концах отрезка.
$y(0)=cos 0- sqrt{3} sin 0= 1$ - наибольшее
$y(1)=cos 1- sqrt{3} sin 1approx-0.917$ - наименьшее

Answer 2

Используем формулу синуса разности:
$y=cos x-sqrt3sin x=2left(dfrac12cos x-dfrac{sqrt3}2sin xright)=\=2left(sindfracpi6cos x-cosdfracpi6sin xright)=-2sinleft(x-dfracpi6right)$

Известно, что $sin x$ возрастает при $xin[-pi/2,pi/2]$, тогда $sin(x-pi/6)$ возрастает при $xin[-2pi/3,pi/3]$, а $-2sin(x-pi/6)$ убывает при $xin[-2pi/3,pi/3]$.

Так как $pi=3.1... textgreater 3$, то $pi/3 textgreater 1$, значит, на всём отрезке $[0,1]$ функция y убывает. Тогда максимальное значение она принимает на левом конце отрезка, а минимальное — на правом.
$maxlimits_{xin [0,1]}y=y(0)=cos0-sqrt3sin 0=1-sqrt3cdot0=1\ minlimits_{xin [0,1]}y=y(1)=cos1-sqrt3sin 1$