Question

log по основанию 2x+3 (3x+2)+ log по основанию 3x+2 (2x+3)=2. Как это решить? Можно с объяснением и какой метод используем в данном примере

Answer 1

ОДЗ:
1. 
$left { {{2x+3 textgreater 0} atop {2x+3 neq 1}} right. , left { {{2x textgreater -3} atop {2x neq -2}} right. , left { {{x textgreater -1,5} atop {x neq -1}} right.$
=> x∈(-1,5;-1)∪(-1;∞)
2. 
$left { {{3x+2 textgreater 0} atop {3x+2 neq 1}} right. , left { {{x textgreater - frac{2}{3} } atop {x neq - frac{1}{3} }} right.$
=> x∈(-2/3; -1/3)∪(-1/3;∞)
3. $left { {{2x+3 textgreater 0} atop {3x+2 textgreater 0}} right. , left { {{x textgreater -1,5} atop {x textgreater - frac{2}{3} }} right.$
=> x>-2/3

ОДЗ:
x∈(-2/3; -1/3)∪(-1/3;∞)
формула перехода к новому основанию с:
$log_{a} b= frac{ log_{c}b }{ log_{c} a}$

перейти к основанию а= 2х+3:
$log_{2x+3} (3x+2)+ frac{1}{ log_{2x+3} (3x+2)} =2 |* log_{2x+3} (3x+2)$
$( log_{2x+3} (3x+2))^{2} -2* log_{2x+3} (3x+2)+1=0$
логарифмическое квадратное уравнение, замена переменной:
$log_{2x+3} (3x+2)=t$
t²-2t+1=0
(t-1)²=0,  t=1
обратная замена:
$t=1 log_{2x+3}(3x+2)=1$
по определению логарифма:
(2x+3)¹=3x+2
2x-3x=2-3
x=1
x∈(-2/3;-1/3)∪(-1/3;∞)

ответ: х=1