Question

Помогите пожалуйста с пределами,1;2;4 примеры
Очень нужно,заранее спасибо

Answer 1

$1) lim_{x to infty} ( sqrt{3x+1} - sqrt{x+5} )= {infty-infty }= \ \ lim_{x to infty} frac{( sqrt{3x+1} - sqrt{x+5})( sqrt{3x+1} - sqrt{x+5})}{( sqrt{3x+1} - sqrt{x+5})} = lim_{x to infty} frac{3x+1-x-5}{ sqrt{3x+1} +sqrt{x+5}} = \ \ =lim_{x to infty} frac{2x-4}{ sqrt{3x+1} +sqrt{x+5}} ={ frac{infty}{infty} }= lim_{x to infty} frac{ frac{2x}{x} - frac{4}{x} }{ sqrt{ frac{3x+1}{x^2} }+ sqrt{ frac{x+5}{x^2} } } =$
$= lim_{x to +infty} frac{2- frac{4}{x} }{ sqrt{ frac{3}{x}+ frac{1}{x^2} }+ sqrt{ frac{1}{x}+ frac{5}{x^2} } } = frac{2- frac{4}{infty} }{ sqrt{ frac{3}{infty}+ frac{1}{infty^2}} + sqrt{ frac{1}{infty}+ frac{5}{infty^2} } } =\ \ = frac{2-0}{ sqrt{0+0}+ sqrt{0+0} } = frac{2}{0} =infty$

$2) lim_{x to 0}( frac{2x+1}{x+1} )^{ frac{1}{x}} ={1^infty }=lim_{x to 0}( frac{x+x+1}{x+1} )^{ frac{1}{x}}=lim_{x to 0}( 1+ frac{x}{x+1} )^{ frac{1}{x}}= \ \ =lim_{x to 0}( 1+ frac{x}{x+1} )^{ frac{x+1}{x}* frac{x}{x+1} * frac{1}{x}}= lim_{x to 0} (e^{frac{x}{x+1} * frac{1}{x}}) =lim_{x to 0} (e^{frac{1}{x+1} }) = \ \ = e^{ lim_{x to0} ( frac{1}{x+1})}=e^{ frac{1}{0+1} } =e^1=e$

$4) lim_{x to frac{ pi }{2} } (sinx)^{tgx}={1^infty }= lim_{x to frac{ pi }{2} }{(1+sinx-1)^{ frac{1}{sinx -1} *(sinx-1)*tgx} }\ \ = lim_{x to frac{ pi }{2} }(e^{(sinx-1)tgx})=e^{ lim_{x to frac{ pi }{2} }(sinx-1)tgx$

Найдем отдельно предел показателя, произведя замену х→π/2, на 
х-π/2 →0:


$lim_{x to frac{ pi }{2} }(sinx-1)tgx= left[begin{array}{c}x- frac{ pi }{2} =t \x= frac{ pi }{2}+t&t to 0 \ end{array}right] = \ \ lim_{t to0} (sin(frac{ pi }{2}+t)-1)tg(frac{ pi }{2}+t)= lim_{t to 0} (cost-1)*(-ctgt) = \ \ =lim_{t to 0}- (1-cost)*(-ctgt) =lim_{t to 0} (1-cost)* frac{1}{tgt} =$

Далее пользуемся таблицей эквивалентности: заменяем
1-cost на t²/2
tgt  на t

$= lim_{t to 0} frac{t^2}{2} * frac{1}{t} =lim_{t to 0} frac{t}{2} = frac{0}{2} =0$


$e^ lim_{x to frac{ pi }{2} } (sinx-1)tgx}=e^0=1$