вероятность того, что стрелок не попал в мишень при одном выстреле, равна 0,4. Сделано 10 выстрелов. Найти вероятность того, что: а) 7 пуль попали в цель; б) хотя бы одна пуля попала в цель; в) не менее восьми пуль попали в цель.
Ответы
Ответ дал:
0
Если выражаться строго математически, то мы имеем дело со схемой испытаний Бернулли со следующими вероятностями событий:
p = P(попадание)=1 - P(промах) = 1 - 0,4 = 0,6
q = P(промах) = 0,4
В рамках данной модели испытаний вероятность успешного события
(т.е. вероятность того, что произойдёт в точности
успехов из
), подчиняется биномиальному распределению:
, где
символ
означает число способов выбрать из
элементов
элементов без учёта порядка. Известно, что
.
а) Вероятность того, что ровно 7 пуль из 10 попали в цель, составляет
![P(A_7) = C_{10}^7 p^7 cdot q^{10-7} = frac{10!}{7! 3!} 0,6^7 cdot 0,4^3 approx 0,215 P(A_7) = C_{10}^7 p^7 cdot q^{10-7} = frac{10!}{7! 3!} 0,6^7 cdot 0,4^3 approx 0,215](https://tex.z-dn.net/?f=P%28A_7%29+%3D+C_%7B10%7D%5E7+p%5E7+cdot+q%5E%7B10-7%7D+%3D+frac%7B10%21%7D%7B7%21+3%21%7D+0%2C6%5E7+cdot+0%2C4%5E3+approx+0%2C215)
б) Для того, чтобы найти вероятность того, что хотя бы одна пуля попала в цель, нужно понимать, что множество всевозможных событий
состоит из двух непересекающихся множеств-альтернатив:
- есть хотя бы одно попадание;
- нет ни одного попадания.
Из определения вероятности (как числовой функции множеств) немедленно следует, что
, поэтому интересующая нас вероятность выражается следующим равенством:
.
Теперь осталось лишь найти вероятность непопадания
. Можно действовать по общей формуле вероятностей в схеме испытания Бернулли (и получить тот же самый результат!), но в данном случае ситуация упрощается, если напрямую воспользоваться независимостью испытаний: вероятность непопадания в серии из 10 выстрелов равна произведению вероятностей непопадания после 1-го выстрела, после 2-го выстрела и т.д., до 10-го выстрела:
,
поэтому вероятность того, что хотя бы одна пуля попала в цель, равна
![P(A) = 1 - P(overline{A}) = 1 - 0,0001 approx 0,9999 P(A) = 1 - P(overline{A}) = 1 - 0,0001 approx 0,9999](https://tex.z-dn.net/?f=P%28A%29+%3D+1+-+P%28overline%7BA%7D%29+%3D+1+-+0%2C0001+approx+0%2C9999+)
в) Событие
"не менее 8-ми пуль попали в цель" является суммой трёх взаимоисключающих событий
"ровно 8 из 10 пуль попали в цель",
"ровно 9 из 10 пуль попали в цель" и
"ровно 10 из 10 пуль попали в цель", поэтому искомая вероятность равна:
![P(A_{8/10}) = P(A_8) + P(A_9) + P(A_{10}) = C_{10}^{8}p^8 cdot q^2 + C_{10}^{9}p^9 cdot q^1 + C_{10}^{10} p^{10} = 45*(0,6)^8(0,4)^2 + 10*(0,6)^9(0,4) + (0,6)^10 approx 0,167 P(A_{8/10}) = P(A_8) + P(A_9) + P(A_{10}) = C_{10}^{8}p^8 cdot q^2 + C_{10}^{9}p^9 cdot q^1 + C_{10}^{10} p^{10} = 45*(0,6)^8(0,4)^2 + 10*(0,6)^9(0,4) + (0,6)^10 approx 0,167](https://tex.z-dn.net/?f=+P%28A_%7B8%2F10%7D%29+%3D+P%28A_8%29+%2B+P%28A_9%29+%2B+P%28A_%7B10%7D%29+%3D+C_%7B10%7D%5E%7B8%7Dp%5E8+cdot+q%5E2+%2B+C_%7B10%7D%5E%7B9%7Dp%5E9+cdot+q%5E1+%2B+C_%7B10%7D%5E%7B10%7D+p%5E%7B10%7D+%3D+45%2A%280%2C6%29%5E8%280%2C4%29%5E2+%2B+10%2A%280%2C6%29%5E9%280%2C4%29+%2B+%280%2C6%29%5E10+approx+0%2C167+)
Ответ: а) 0,215 б) 0,9999 в) 0,167.
p = P(попадание)=1 - P(промах) = 1 - 0,4 = 0,6
q = P(промах) = 0,4
В рамках данной модели испытаний вероятность успешного события
символ
а) Вероятность того, что ровно 7 пуль из 10 попали в цель, составляет
б) Для того, чтобы найти вероятность того, что хотя бы одна пуля попала в цель, нужно понимать, что множество всевозможных событий
Из определения вероятности (как числовой функции множеств) немедленно следует, что
Теперь осталось лишь найти вероятность непопадания
поэтому вероятность того, что хотя бы одна пуля попала в цель, равна
в) Событие
Ответ: а) 0,215 б) 0,9999 в) 0,167.
Вас заинтересует
1 год назад
6 лет назад
6 лет назад
8 лет назад
8 лет назад
9 лет назад