Question

вероятность того, что стрелок не попал в мишень при одном выстреле, равна 0,4. Сделано 10 выстрелов. Найти вероятность того, что: а) 7 пуль попали в цель; б) хотя бы одна пуля попала в цель; в) не менее восьми пуль попали в цель.

Answer 1

Если выражаться строго математически, то мы имеем дело со схемой испытаний Бернулли со следующими вероятностями событий:
p = P(попадание)=1 - P(промах) = 1 - 0,4 = 0,6
q = P(промах) = 0,4

В рамках данной модели испытаний вероятность успешного события $A_k$ (т.е. вероятность того, что произойдёт в точности $k$ успехов из $n$), подчиняется биномиальному распределению:
$P(A_k) = C_n^k p^k cdot q^{n-k}$, где
символ $C_n^k$ означает число способов выбрать из $n$ элементов $k$ элементов без учёта порядка. Известно, что
$C_n^k = frac{n!}{k! (n-k)!}$.

а) Вероятность того, что ровно 7 пуль из 10 попали в цель, составляет
$P(A_7) = C_{10}^7 p^7 cdot q^{10-7} = frac{10!}{7! 3!} 0,6^7 cdot 0,4^3 approx 0,215$

б) Для того, чтобы найти вероятность того, что хотя бы одна пуля попала в цель, нужно понимать, что множество всевозможных событий $Omega$  состоит из двух непересекающихся множеств-альтернатив:
$A$ - есть хотя бы одно попадание;
$overline{A}$ - нет ни одного попадания.
Из определения вероятности (как числовой функции множеств) немедленно следует, что
$1 = P(Omega) = P(A + overline{A}) = P(A) + P(overline{A})$, поэтому интересующая нас вероятность выражается следующим равенством: $P(A) = 1 - P(overline{A})$.

Теперь осталось лишь найти вероятность непопадания $P(overline{A})$. Можно действовать по общей формуле вероятностей в схеме испытания Бернулли (и получить тот же самый результат!), но в данном случае ситуация упрощается, если напрямую воспользоваться независимостью испытаний: вероятность непопадания в серии из 10 выстрелов равна произведению вероятностей непопадания после 1-го выстрела, после 2-го выстрела и т.д., до 10-го выстрела:
$P(overline{A}) = q^{10} = 0,4^{10} approx 0,0001$,
поэтому вероятность того, что хотя бы одна пуля попала в цель, равна
$P(A) = 1 - P(overline{A}) = 1 - 0,0001 approx 0,9999$

в) Событие $A_{8/10}$ "не менее 8-ми пуль попали в цель" является суммой трёх взаимоисключающих событий $A_8$ "ровно 8 из 10 пуль попали в цель", $A_9$ "ровно 9 из 10 пуль попали в цель" и $A_{10}$ "ровно 10 из 10 пуль попали в цель", поэтому искомая вероятность равна:
$P(A_{8/10}) = P(A_8) + P(A_9) + P(A_{10}) = C_{10}^{8}p^8 cdot q^2 + C_{10}^{9}p^9 cdot q^1 + C_{10}^{10} p^{10} = 45*(0,6)^8(0,4)^2 + 10*(0,6)^9(0,4) + (0,6)^10 approx 0,167$

Ответ: а) 0,215 б) 0,9999 в) 0,167.