Question

Решите пожалуйста задачу со всеми решениями.

Answer 1

Дано: АВСД - равнобед. трап.; ∠АВС=135°; АН=1,4 см; НД=3,4см.
Найти: площадь АВСД.
Решение: так как АВСД- равнобед. трап, то по свойству равнобедренной трапеции сумма двух углов, прилежащих к разным основаниям, равна 180°. Так как угол АВС равен 135°, то ∠ВАН=∠ВАД=180°-135°=45°. Так как ∠АНВ=90°(так как ВН-высота), ∠ВАН=45°, то ∠АВН=180°-90°-45°=45°(сумма углов треугольника =180°);⇒∠ВАН=∠АВН; ⇒ΔАВН-равнобедренный(признак равнобед. треуг.);⇒ВН=АН=1,4см.
Проведём высоту СК к основанию АД. Тогда АД=АН+НД=АН+НК+КД=1,4см+НК+КД=3,4см;⇒НК+КД=2см.;
Рассмотрим ΔАВН и ΔДСК. В них ∠АНВ=∠ДКС=90°; ⇒они прямоугольные. В них 
1)АВ=СД(по условию); 2)∠ВАН=∠СДК(углы при основании равнобедренной трапеции); ⇒ΔАВН=ΔДСК(по гипотенузе и острому углу);
В равных треугольниках соответственные элементы равны; ⇒КД=АН=1,4см; т. к. КД+НК=1,4см+НК=2см, то НК=2см-1,4см=0,6см;
АД║ВС; ⇒∠ВНА=∠СКД=∠НВС=∠КСВ=90°(накрест лежащие углы); ⇒НВСК-прямоугольник(признак прямоугольника-все углы равны 90°); ⇒ВС=НК=0,6см(свойство противоположных сторон прямоугольника);
$S ABCD= frac{1}{2}(AD+BC)*BH= frac{1}{2}((AH+HK+KD)+BC)*BH=$(((1,4см+3,4см)+0,6см)*1,4см)/2=((4,8см+0,6см)*1,4см)/2=(5,4см*1,4см)/2=7,56см²/2=3,78см²
Ответ: площадь АВСД=3,78см².
Примечание: решение написано с надеждой на то, что ВН - это высота, и угол ВНА=90°.