Question

Найдите наименьшее натуральное число, начинающееся в десятичной записи с пятёрки, которое уменьшается в четыре раза, если эту пятёрку стереть из начала его десятичной записи и дописать в её конец.

Answer 1

Обозначим искомое число как 5*10^n+x, где n - длина числа x
Тогда по условию, если перенести 5 в конец числа, то оно уменьшится в 4 раза.
5*10^n+x=4*(10*x+5)
5*10^n+x=40x+20
5*10^n=39x+20
Пусть x=5m, тогда 5*10^n=39*5m+20
10^n=39m+4
Отсюда следует, что 10^n-4=39m, то есть 10^n-4 кратно 39.
Подберем минимальное n, что это выполняется:
При n=5: 10^5-4 = 39*2564.
То есть m=2564
Отсюда x=5*2564=12820.
Таким образом, наименьшим искомым числом является 512820=4*128205