Question

Бесконечная геометрическая прогрессия состоит из натуральных чисел. Оказалось, что произведение первых шести её членов равно 72^612. Найдите количество таких прогрессий.

Answer 1

Пусть прогрессия имеет первый член b и знаменатель q. Сказано, что она бесконечная и состоит из натуральных чисел. Это значит, что прогрессия неубывающая, иначе рано или поздно появились бы дробные члены прогрессии. При этом b и q являются натуральными числами.
Найдем произведение первых 6 членов прогрессии:
b*bq*bq^2*bq^3*bq^4*bq^5=b^6*q^15
b^6*q^15=72^612
b^2*q^5=72^204
b^2*q^5=(2^3*3^2)^204
b^2*q^5=2^612*3^408
Так как b и q являются натуральными числами, а справа в уравнении стоит число, в составе которого только степени 2 и 3, то b и q тоже являются числами, в состав которых входят только степени 2 и 3.
Тогда пусть b=2^a*3^c, q=2^k*3^m.
Тогда (2^a*3^c)^2*(2^k*3^m)^5=2^612*3^408
2^(2a+5k)*3^(2c+5m)=2^612*3^408
Получаем систему уравнений
2a+5k=612,
2c+5m=408,
которую надо решить в целых неотрицательных числах.
Видим, что уравнения однотипные, вида Ax+By=C, причем коэффициенты A и коэффициенты B у них соответственно совпадают.
Тогда решим уравнение 2x+5y=C.
2x=C-5y
2x=C+y-2*(3y)
Это значит, что C+y кратно 2.
Тогда C+y=2*r
y=2*r-C
Отсюда уже можно вернуться к x:
2x=C-5*(2*r-C)
2x=6C-10r
x=3C-5r.
Так как x и y - целые неотрицательные числа, то на них нужно наложить ограничения:
x=3C-5r>=0,
y=2r-C>=0
Из первого условия получим, что r<=3C/5
Из второго условия получим, что r>=C/2
Вернемся к более ранней системе уравнений.
1) 2a+5k=612
Уравнение имеет решения в виде a=3*612-5r, k=2r-612, а количество решений в целых неотрицательных числах в нем равно количеству целых r в промежутке [С/2; 3C/5]. Иными словами, получим промежуток [612/2;3*612/5] или же [306; 367.2]. Целые r в нем - числа от 306 до 367. Их количество 367-306+1=62.
2) 2c+5m=408
Аналогично получаем промежуток для r
[408/2; 3*408/5] =[204; 244.8]
Количество целых решений равно 244-204+1=41
Так как уравнения системы не пересекаются, общее количество решений в виде четверки чисел (a, k, c, m) равно произведению количества решений первого уравнения и второго уравнения. То есть 62*41=2542