Question

Назовем “соросовским произведением” двух различных чисел, a и b, число a + b + ab. Можно ли, исходя из чисел 1 и 4, после многократного применения этой операции к уже полученным произведениям получить: 
а) число 1999; 
б) число 2000?

Answer 1

1+4+1*4=9,

1+9+1*9=19,
4+9+4*9=49,

1+19+1*19=39,
1+49+1*49=99,
4+19+4*19=99,
4+49+4*49=249,
9+19+9*19=199,
9+49+9*49=499,
19+49+19*49=999...

Возможные варианты “соросовских произведений":
1 и оканчивающиеся на 9 число (10х+9): 1+(10х+9)+1*(10х+9)=
=10(2х+1)+9, {оканчивающееся на 9 число}
4 и оканчивающиеся на 9 число (10х+9): 4+(10х+9)+4*(10х+9)=
=10(5х+4)+9, {оканчивающееся на 9 число}
два оканчивающиеся на 9 числа (10х+9) и (10у+9): (10х+9)+(10у+9)+(10х+9)*(10у+9)=100(х+у+ху)+99. {оканчивающееся на 99 число}
“Соросовские произведения” оканчиваются цифрой 9.

Получить число 2000 путем “соросовского произведения" не возможно.

Если число 1999 является "соросовским произведением", то
1) существует такое число (10х+9), что 1+(10х+9)+1*(10х+9)=1999, или
2) существует такое число (10х+9), что 4+(10х+9)+4*(10х+9)=1999, или
3) существуют два таких числа (10х+9) и (10у+9), что (10х+9)+(10у+9)+(10х+9)*
*(10у+9)=1999.

1) 1+(10х+9)+1*(10х+9)=1999,
1+2(10х+9)=1999, 
2(10х+9)=1998,
(10х+9)=999. {число 999 также является "соросовским произведением" - смотри выше}
Число 1999 можно получить путем "соросовского произведения".