Question

ПОМОГИТЕ СРОЧНО, НАДО РЕШИТЬ два СЛОЖНЫХ примера методом интегрирования по частям! С меня конечно же Спасибо!!!

Answer 1

1)  Заменю y=2x (dy = 2dx)

$int arcctg(2x) dx = 0.5int arcctg(y)dy$

Теперь по частям, тут тривиально u = arcctg y, dv = dy
тогда du = -dy/(1+y^2)

$int arcctg(y)dy = ycdot arcctg(y) + intfrac{ydy}{1+y^2} =\ ycdot arcctg(y)+0.5intfrac{d(y^2)}{1+y^2} = \ ycdot arcctg(y)+0.5ln(1+y^2)+C$

Вернемся к x

$int arcctg(2x)dx = 0.5(2xcdot arcctg(2x)+0.5ln(1+4x^2))+C = \ xcdot arcctg(2x) + 0.25ln(4x^2+1)+C$

Второй интеграл

Сначала
$int x^2 ln3x dx = 1/3intln3x (3x^2dx) = 1/3(x^3ln3x - int x^3frac{3dx}{3x}) = \ 1/3(x^3ln 3x-int x^2dx) = 1/3(x^3ln 3x-x^3/3) + C$

Потом
 $int x^3 ln3x dx = 1/4intln3x (4x^3dx) = 1/4(x^4ln3x - int x^4frac{3dx}{3x}) = \ 1/4(x^4ln 3x-int x^3dx) = 1/4(x^4ln 3x-x^4/4) + C$

Вычтем из второго первое
$int (x^3-x^2)ln 3xdx = frac{x^3}{144}(16-9x+12(3x-4)ln3x) + C$