Question

доказать что из пяти диагоналей произвольного выпуклого пятиугольника всегда можно выбрать три таких что из них можно составить треугольник

Answer 1

Пусть ABCDE - выпуклый 5-угольник. Без ограничения общности можно считать, что AD - его наибольшая диагональ.
Т.к. ABCDE - выпуклый, то AC и BD пересекаются, допустим, в точке О.
DB>DO, AC>AO, значит DВ+AC>DO+AO>AD.
Т.к. AD - наибольшая диагональ, то AD+AC>AD≥DB и AD+DB>AD≥AC.
Таким образом, для диагоналей AD, AC, DB выполнено неравенство треугольника, т.е. из них можно составить треугольник.