Question

Вычислите приближённые значение с помощью формулы $(1+Delta x)^alphaapprox1+alphaDelta x$

$sqrt[4]{48};quadsqrt[3]{30};quadsqrt[4]{90}.$

Answer 1

$(1+Delta x)^{n}approx1+ncdot Delta x; ,; ; -1<Delta x<1\\1)quad sqrt[3]{30}=sqrt[3]{27+3}=sqrt[3]{27(1+frac{3}{27})}=3cdot sqrt[3]{1+frac{1}{9}}=\\=3cdot (1+frac{1}{9})^{ frac{1}{3} }approx 3cdot (1+frac{1}{3}cdot frac{1}{9})=3cdot (1+ frac{1}{27} )=3cdot frac{28}{27}= frac{28}{9} =3 frac{1}{9} \\2)quad sqrt[4]{90}=sqrt[4]{81+9}=sqrt[4]{81(1+frac{9}{81})}=3cdot sqrt[4]{1+frac{1}{9}}=$

 $=3cdot (1+ frac{1}{9} )^{ frac{1}{4} }approx 3cdot (1+ frac{1}{4} cdot frac{1}{9} )=3cdot (1+frac{1}{36})=3cdot frac{37}{36}=frac{37}{12}=3frac{1}{12}$ 

$3)quad sqrt[4]{48}=sqrt[4]{81-33}=sqrt[4]{81(1-frac{33}{81})}=3cdot (1+(- frac{33}{81} ))^{frac{1}{4}}approx \\approx 3cdot (1-frac{1}{4}cdot frac{33}{81})=3cdot frac{291}{324}= frac{291}{108} =2frac{75}{108}$