Question

Докажите,что если А(х)>0 для всех х,при которых определены функции f(x) и g(x),то неравенства f(x)A(x)<g(x)A(x) равносильны

Answer 1

$f(x)A(x) quad?quad g(x)A(x)\ f(x)A(x) - g(x)A(x) quad?quad 0\ (f(x)-g(x))A(x) quad?quad 0$

Так как для любого икс A(x)>0 при любом икс данное неравенство (уже числовое), можно делить на положительное A(x), после чего получим

$f(x)-g(x)quad?quad0\ f(x)quad?quad g(x)$

В последнем неравенстве знак "меньше", значит и в исходном тоже
Все!

Answer 2

A(x)>0
f(x)*A(x)<g(x)*A(x)
разделим каждую часть неравенства на А(х)
при делении на положительное число знак неравенства не меняется, значит
неравенство  f(x)<g(x) равносильно неравенству f(x)*A(x)<g(x)*A(x)