Question

Когда мы говорим I have got a dog, а когда I have got the dog.

Answer 1

I have got the dog-мы не употребляем,правильней будет I have got this/that dog,как бы указываем на предмет,а I have got a dog,здесь мы не называем какая именно собака и её месторасположение.  

Answer 2

I have the dog мы употребляем, когда говорится о собаке, о которой раньше говорили, а I have a dog мы употребляем когда говорим первый раз о ней.