Question

Сравните числа:
$log_34 и sqrt[4]{2}$
$log_23 и sqrt[3]{7}$

Answer 1

1.
Обозначим:
$log_34=a; sqrt[4]{2} =b$
Преобразуем числа:
$a=log_34=log_3(4^4)^{ frac{1}{4} }= dfrac{1}{4}log_34^4=dfrac{1}{4}log_3256 textgreater dfrac{1}{4}log_3243 = \ =dfrac{1}{4}log_33^5=dfrac{1}{4}cdot5= dfrac{5}{4} \ Rightarrow a textgreater dfrac{5}{4}$
$b= sqrt[4]{2} textless sqrt[4]{2 dfrac{113}{256} } =sqrt[4]{ dfrac{625}{256} } = dfrac{5}{4} \ Rightarrow b textless dfrac{5}{4}$
Итого: первое число больше 5/4, а второе меньше 5/4. Значит, $log_34 textgreater sqrt[4]{2}$

2.
Обозначим:
$log_23=c; sqrt[3]{7} =d$
Преобразуем числа:
$c=log_23= log_2(3^5)^ frac{1}{5} =dfrac{1}{5} log_23^5 =dfrac{1}{5} log_2243 textless dfrac{1}{5} log_2256 = \ =dfrac{1}{5} log_22^8=dfrac{1}{5}cdot8=dfrac{8}{5} \ Rightarrow c textless dfrac{8}{5}$
$d= sqrt[3]{7} textgreater sqrt[3]{ 4dfrac{12}{125} } =sqrt[3]{ dfrac{512}{125} } = dfrac{8}{5} \ Rightarrow d textgreater dfrac{8}{5}$
Итого: первое число меньше 8/5, а второе больше 8/5. Значит, $log_23 textless sqrt[3]{7}$