Question

На конце легкой нити длиной 1 м укреплен шарик. Шарик свободно вращается в вертикальной плоскости вокруг оси, проходящей через другой конец нити. В верхней точке траектории шарик имеет скорость 5 м/с. Во сколько раз сила натяжения нити в нижней точке больше, чем в верхней?(5)

Answer 1

Ускорение шарика центростремительное, поэтому в нижней точке направлено вверх, а в верхней - вниз. Пусть v1 = 5м/c - скорость вверху, а v2 - скорость внизу, тогда распишем 2 закон Ньютона в двух ситуациях

$frac{mv_1^2}{L} = mg+T_1\ frac{mv_2^2}{L} = T_2-mg$

Здесь уже учтено взаимное направление ускорения и двух сил действующих на шарик (тяжесть и натяжение нити) а также использована формула для ц.с. ускорения, где L - длина нити.

Получаем

$T_1 = frac{mv_1^2}{L} -mg\ T_2 = frac{mv_2^2}{L} +mg\\ T_2/T_1 = (frac{mv_2^2}{L}+mg)/(frac{mv_1^2}{L}-mg) = \\ = (frac{mv_2^2}{2}+mgL/2)/(frac{mv_1^2}{2}-mgL/2)$

Но по закону сохранения энергии
$mv_2^2/2 = mv_1^2/2+2mgL$

Поэтому

$T_2/T_1 = (frac{mv_1^2}{2}+2.5mgL)/(frac{mv_1^2}{2}-mgL/2) = \\ =(v_1^2+5gL)/(v_1^2-gL) = (25+50)/(25-10) = 75/15 = 5$