Question

1.2.7. ЗАДАНИЕ 7.
Составить уравнение линии, для каждой точки М, которой отношение расстояния до точки F(-5:3) и до прямой х = -3 равно е =|-3|/2. Привести уравнение к каноническому виду, определить тип линии и построить линию на чертеже. Показать на чертеже фокусы, директрисы, асимптоты (если они имеются у построенной линии).





Выбор индивидуального задания к модулю-2 осуществляет-ся по номеру варианта студента n. При этом используются параметр Рк - остаток от деления номера варианта n на число к, и выражение [n / k] - целая часть от деления n на k. Например, если n = 7, то Р2=1, Р3=1, Р4=3, Р5=2, Р6=1, Р7=0, Р8=7, Р9=7 и т.д. Если n = 7 и к = 4, то [n/k] = [7/4] = 1.

Answer 1

Если эксцентриситет больше 1, то линия - гипербола.
Так как директриса х = -3, то ось гиперболы - линия, параллельная оси Ох.
Эта линия проходит через точку F, её уравнение у = 3.
Из условия задачи получаем уравнение:
$(y-3)^2=(1,5*(x+3))^2-(x+5)^2.$
$(y-3)^2=2,25x^2+13,5x+20,25-x^2-10x-25.$
Приведя подобные, получаем:
$(y-3)^2=1,25x^2+3,5x-4,75.$
В правой части выделяем полный квадрат:
$(y-3)^2=1,25(x^2+2,8x+1,96)-5,76.$
Окончательно получаем уравнение гиперболы:
$frac{(x+1,4)^2}{5,76}- frac{(y-3)^2}{7,2}=1.$
Параметры гиперболы:
- а = √5,76 = 2,4.
- в = √7,2 ≈  2,683282.
- с = √(5,76 + 7,2) = √12,96 = 3,6.
- уравнение оси симметрии гиперболы х = -5+3,6 = -1,4.
- координаты фокуса правой половины параболы:
   F₂:(-5+2*3,6); 3) = (2,2; 3).
- координаты вершины левой половины параболы
  (-5+(3,6-2,4) = (-3,8; 3).
- координаты вершины правой половины параболы
  (2,2-(3,6-2,4) = (1; 3).
- уравнения директрис: (расстояние от фокуса до директрисы 2 единицы)
   х = -3   и х =(2,2-2 = 0,2) = 0,2.
- уравнения асимптот с учётом координат центра гиперболы: 
   $(y+1,4)=+- frac{ sqrt{7,2} }{2,4}(x-3).$

c42b3e57c19f58992197d22fea76c374.docx