Question

Решите уравнение 1/tg2x – 1/sinx = 1

Answer 1

ОДЗ: $displaystyle left { {{sin xne0} atop {cos xne 0}} right. ~~Rightarrow~~~ left { {{x neq pi k,k in mathbb{Z}} atop {xne frac{pi}{2}+ pi n,n in mathbb{Z} }} right.$

$displaystyle frac{1}{tg^2x}- frac{1}{sin x}=1\ \ frac{cos^2 x}{sin^2x} - frac{1}{sin x}=1\ \ \ frac{1-sin^2x}{sin^2x}-frac{1}{sin x}=1\ \ frac{1}{sin^2 x} -1-frac{1}{sin x}=1\ \ \ frac{1}{sin^2 x}-frac{1}{sin x}-2=0$

Пусть $dfrac{1}{sin x}=t$, тогда получим

$t^2-t-2=0$

По т. Виета:  $t_1=2;~~~ t_2=-1$

Обратная замена

$dfrac{1}{sin x}=2;~~~Rightarrow~~~ sin x=0.5\ \ boxed{x=(-1)^kcdot frac{pi}{6}+ pi k,k in mathbb{Z} }$


$dfrac{1}{sin x}=-1;~~Rightarrow~~~ sin x=-1\ \ x=- dfrac{pi}{2}+2 pi k,k in mathbb{Z}~~~ notin~~ ODZ$