Question

Решите пожалуйста, только полностью распишите.

Answer 1

В знаменателе разница кубов, раскладываем её.
$lim_{n to infty} frac{(3-4n)^2}{(n-3)^3 - (n+3)^3} = lim_{n to infty}frac{(3-4n)^2}{(n-3 - n -3)((n+3)^2 + (n+3)(n-3) + (n-3)^2}$
$lim_{n to infty}frac{(3-4n)^2}{(n-3 - n -3)((n+3)^2 + (n+3)(n-3) + (n-3)^2} = lim_{n to infty} frac{(3-4n)^2}{-6(3n^2 + 9)}$
$lim_{n to infty} frac{(3-4n)^2}{-6(3n^2 + 9)} = lim_{n to infty} frac{(3-4n)^2}{-18n^2 - 54} = lim_{n to infty} frac{9 - 24n + 16n^2}{-18n^2 - 54}$
$lim_{n to infty} frac{9 - 24n + 16n^2}{-18n^2 - 54} =lim_{n to infty} frac{n^2(16 - 24/n + 9/n^2)}{n^2(-18 - 54/n^2)} = -frac{16}{18} = - frac{8}{9}$

Домножаем на сопряженное, чтобы получилась разность квадратов в числителе.
$lim_{n to infty} sqrt{n^2 + 2n} - sqrt {n^2 - 2n +3}$
$lim_{n to infty} sqrt{n^2 + 2n} -sqrt {n^2 - 2n +3} frac{sqrt{n^2 + 2n} +sqrt {n^2 - 2n +3}}{sqrt{n^2 + 2n} +sqrt {n^2 - 2n +3}}$
$lim_{n to infty} frac{n^2 + 2n - n^2 -2n + 3}{sqrt{n^2 + 2n} +sqrt {n^2 - 2n +3}} = lim_{n to infty} frac{3}{sqrt{n^2 + 2n} +sqrt {n^2 - 2n +3}}$
$lim_{n to infty} frac{3}{sqrt{n^2 + 2n} +sqrt {n^2 - 2n +3}} = lim_{n to infty} frac{3}{infty} = 0$