Question

Электрон находится в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме шириной l = 10 см в основном состоянии (n = 1). Рассчитайте дискретность ∆En = En +1 - Enэнергетического спектра электрона и найдите отношение ∆En к средней кинетической энергии поступательного движения свободных электронов в металле, считая их идеальным газом при температуре T = 300 К.

Answer 1

Уфф, погнали. Уравнение Шредингера

$frac{-hbar^2}{2m}Psi'' = EPsi\\ Psi'' +frac{2mE}{hbar^2} = 0$

Общее решение
$Psi(x) = Acos(kx)+Bsin(kx); quad k = (2mE/hbar^2)^{1/2}$

Яма налагает условия
$Psi(0) = Psi(l) = 0$

Поэтому в яме будут только такие решения
$Psi_n(x) = B_nsin(k_n x); quad k_n = (2mE_n/hbar^2)^{1/2}$

Причем для разрешенных энергий и волновых чисел справедливо

$k_n l = pi n\ k_n = frac{pi n}{l}\\ E_n = frac{hbar^2k_n^2}{2m} = frac{h^2}{8ml^2}n^2$

Для состояния n=1 дискретность равна

$Delta E = E_2-E_1 =frac{3h^2}{8ml^2} = 1.12cdot10^{-17} text{eV}$

Тепловая же энергия электрона равна

$E = frac{3}{2}kT = 0.04 text{eV}$

Answer 2

Меня смущает что яма огромная (по меркам микромира), поэтому там фактически сплошной спектр. 10^-17 электронвольта это уже считай что 0