Question

Найти длину дуги кривой y=ln(sinx); (п/4

Answer 1

Длина дуги кривой между точками a и b находится по формуле

$L = intlimits_Csqrt{dx^2+dy^2}=intlimits_a^bsqrt{1+[y'(x)]^2}dx=\\ intlimits_a^bsqrt{1+ctg^2x}dx = intlimits_a^bfrac{dx}{|sin x|}$

Далее найду первообразную считая что я в той области где синус положителен

$intfrac{dx}{sin x} = intfrac{1+tan^2(x/2)}{2tan(x/2)}d(tan(x/2))2cos^2(x/2) = intfrac{d(tan(x/2))}{tan(x/2)} = \\ =lntan(x/2)+C$
 
И ответ следующий

$L = lnfrac{tan b/2}{tan a/2}$