Question

3cos²t - 4cost ≥ 4
6cos²t+1 > 5cost
4cos²t < 1
3cos²t < cost
Объясните как решать такое, желательно решите на листочке)

Answer 1

$3cos^2t - 4cos t geq 4 \ 3cos^2t - 4cos t - 4 geq 0$
Решаем уравнение, соответствующее данному неравенству:
 $3cos^2t - 4cos t - 4 geq 0 \ D_1=(-2)^2-3cdot(-4)=4+12=16 \ cos t= frac{2+4}{3} =2 \ cos t= frac{2-4}{3} =- frac{2}{3}$
Тогда решением исходного неравенства будут промежутки меньше меньшего корня и больше большего:
$left[begin{array}{l} cos t leq - frac{2}{3} \ cos t geq 2 end{array}$
Второе неравенство не имеет решений, так как косинус не принимает значений больших 1.
Первое неравенство удобно решить с помощью тригонометрического круга.
$arccos(- frac{2}{3} )+2 pi k leq t leq 2 pi -arccos(- frac{2}{3} )+2 pi k, kin Z$
Ответ: $arccos(- frac{2}{3} )+2 pi k leq t leq 2 pi -arccos(- frac{2}{3} )+2 pi k$, где k - целые числа

$6cos^2t+1 textgreater 5cos t \ 6cos^2t-5cos t+1 textgreater 0$
Можно на всякий случай вводить замены такого рода:
$cos t=x \ 6x^2-5x+1 textgreater 0 \ D=(-5)^2-4cdot6cdot1=25-24=1 \ x=frac{5+1}{2cdot6} = frac{1}{2} \ x=frac{5-1}{2cdot6} = frac{1}{3}$
Тогда,
$left[begin{array}{l} x textless frac{1}{3} \ x textgreater frac{1}{2} end{array} Rightarrow left[begin{array}{l} cos t textless frac{1}{3} \ cos t textgreater frac{1}{2} end{array}$
Решаем с помощью тригонометрического круга:
$xin(-frac{ pi }{3}+2 pi k ; frac{ pi }{3}+2 pi k )cup(arccos frac{1}{3}+2 pi k ;2 pi -arccos frac{1}{3} +2 pi k), kin Z$
Ответ: $xin(-frac{ pi }{3}+2 pi k ; frac{ pi }{3}+2 pi k )cup(arccos frac{1}{3}+2 pi k ;2 pi -arccos frac{1}{3} +2 pi k)$, где k - целые числа

$4cos^2t textless 1 \ cos^2t textless frac{1}{4} \ -frac{1}{2} textless cos t textless frac{1}{2}$
Значения табличные, но можно и на круге изобразить:
$tin(- frac{2 pi }{3} +2pi k;- frac{ pi }{3} +2pi k)cup( frac{ pi }{3}+2pi k ; frac{2 pi }{3} +2pi k), kin Z$
Ответ: $tin(- frac{2 pi }{3} +2pi k;- frac{ pi }{3} +2pi k)cup( frac{ pi }{3}+2pi k ; frac{2 pi }{3} +2pi k)$, где k - целые числа

$3cos^2t textless cos t \ 3cos^2t - cos t textless 0 \ cos t(3cos t - 1) textless 0 \ cos t(cos t - frac{1}{3} ) textless 0 \ 0 textless cos t textless frac{1}{3}$
Решение на тригонометрическом круге:
$xin(- frac{ pi }{2}+2pi k ;-arccos frac{1}{3} +2pi k)cup(arccos frac{1}{3}+2pi k;frac{ pi }{2}+2pi k), kin Z$
Ответ: $xin(- frac{ pi }{2}+2pi k ;-arccos frac{1}{3} +2pi k)cup(arccos frac{1}{3}+2pi k;frac{ pi }{2}+2pi k)$, где k - целые числа

Answer 2

Спасибо большое!