Question

Имеется пружина с аномальной жесткостью так что смещается сила F пропорциальна кубу смещается x: F=-kx^3, причем k=1MH/м^3. На такую пружину подвешен груз массой 1кг .Определите период малых колебаний груза относительно положения равновесия.
Можно пожалуйста записать решение +ответ и объясните как решили если не трудно .заранее спасибо

Answer 1

Ну попробуем! Итак, запишем второй закон Ньютона для такой системы (ось направим вниз)

$ma = mg-kx^3\ mx'' = mg-kx^3$

Пусть x = q+x0, где x0 = коренькубический(mg/k) и это константа, тогда

$m(q+x_0)'' = mg-k(q+x_0)^3\ q'' = mg-mg - 3kx_0&^2q-3kx_0q^2-kq^3\ mq''+3kx_0^2q = -3kx_0q^2-kq^3$

Итак, для величины q, которая есть отклонение от положения равновесия мы получили ангармоническое уравнение колебаний. Вот теперь мы скажем, что если q мало, то можно пренебречь его старшими степенями в правой части уравнения. Тогда все становится просто

$q''+frac{3kx_0^2}{m}q = 0$

Это обычное уравнение гармонических колебаний, множитель перед q - это квадрат угловой частоты, ну а период найдем элементарно (не забыв подставить x0)

$omega = sqrt{frac{3kx_0^2}{m}} = \\sqrt{frac{3k}{m}(frac{mg}{k})^{2/3}} = sqrt{3sqrt[3]{frac{{g^2k}}{m}}} = sqrt[6]{frac{27kg^2}{m}}$

$T = 2pisqrt[6]{frac{m}{27kg^2}}$