Для конструкторского бюро строится комната в форме прямоугольного параллелепипеда, одна из стен которого стеклянная, а остальные три из обычного материала. Высота комнаты должна равняться 4 м, а площадь пола 80 м^2. Известно, что 1 м^2 стеклянной стены стоит 750 руб, а обычной - 500 руб. Какова наименьшая общая стоимость (в рублях) постройки четырёх стен комнаты?
Ответы
Ответ дал:
0
Пусть стороны пола равны a и b. Пусть так же a<b.
Очевидно что у нас есть две стены со сторонами a и h, и две со сторонами b и h, где h=4 - высота комнаты. Очевидно, что наименьшая сумма достигается, когда мы делаем стеклянной маленькую стенку со сторонами a и h.
Найдем эту сумму
![P = 500ah+750ah+500bh+500bh = 1000h(b+1.25a) P = 500ah+750ah+500bh+500bh = 1000h(b+1.25a)](https://tex.z-dn.net/?f=P+%3D+500ah%2B750ah%2B500bh%2B500bh+%3D+1000h%28b%2B1.25a%29)
Она пропорциональна (b+1.25a). Найдем при каких a и b эта сумма наименьшая, с учетом что ab=80
![ab = 80 rightarrow b = 80/a\\
frac{80}{a}+1.25a quad-quad min\\
(frac{80}{a}+1.25a)' = frac{-80}{a^2}+1.25 = 0\\
a_{min} = sqrt{80/1.25} = 8 ab = 80 rightarrow b = 80/a\\
frac{80}{a}+1.25a quad-quad min\\
(frac{80}{a}+1.25a)' = frac{-80}{a^2}+1.25 = 0\\
a_{min} = sqrt{80/1.25} = 8](https://tex.z-dn.net/?f=ab+%3D+80+rightarrow+b+%3D+80%2Fa%5C%5C%0Afrac%7B80%7D%7Ba%7D%2B1.25a+quad-quad+min%5C%5C%0A%28frac%7B80%7D%7Ba%7D%2B1.25a%29%27+%3D++frac%7B-80%7D%7Ba%5E2%7D%2B1.25+%3D+0%5C%5C%0Aa_%7Bmin%7D+%3D+sqrt%7B80%2F1.25%7D+%3D+8)
Из равенства нулю производной, нашли что a=8, значит b=10, значит наименьшая смета
![P_{min}=1000cdot4(10+10) = 80000 P_{min}=1000cdot4(10+10) = 80000](https://tex.z-dn.net/?f=P_%7Bmin%7D%3D1000cdot4%2810%2B10%29+%3D+80000)
Очевидно что у нас есть две стены со сторонами a и h, и две со сторонами b и h, где h=4 - высота комнаты. Очевидно, что наименьшая сумма достигается, когда мы делаем стеклянной маленькую стенку со сторонами a и h.
Найдем эту сумму
Она пропорциональна (b+1.25a). Найдем при каких a и b эта сумма наименьшая, с учетом что ab=80
Из равенства нулю производной, нашли что a=8, значит b=10, значит наименьшая смета
Вас заинтересует
1 год назад
1 год назад
6 лет назад
8 лет назад