Question

Для конструкторского бюро строится комната в форме прямоугольного параллелепипеда, одна из стен которого стеклянная, а остальные три из обычного материала. Высота комнаты должна равняться 4 м, а площадь пола 80 м^2. Известно, что 1 м^2 стеклянной стены стоит 750 руб, а обычной - 500 руб. Какова наименьшая общая стоимость (в рублях) постройки четырёх стен комнаты?

Answer 1

Пусть стороны пола равны a и b. Пусть так же a<b.

Очевидно что у нас есть две стены со сторонами a и h, и две со сторонами b и h, где h=4 - высота комнаты. Очевидно, что наименьшая сумма достигается, когда мы делаем стеклянной маленькую стенку со сторонами a и h.

Найдем эту сумму
$P = 500ah+750ah+500bh+500bh = 1000h(b+1.25a)$

Она пропорциональна (b+1.25a). Найдем при каких a и b эта сумма наименьшая, с учетом что ab=80

$ab = 80 rightarrow b = 80/a\\ frac{80}{a}+1.25a quad-quad min\\ (frac{80}{a}+1.25a)' = frac{-80}{a^2}+1.25 = 0\\ a_{min} = sqrt{80/1.25} = 8$

Из равенства нулю производной, нашли что a=8, значит b=10, значит наименьшая смета

$P_{min}=1000cdot4(10+10) = 80000$