Question

О функции f(x), заданной на всей вещественной прямой,
известно, что при любом a > 1 функция f(x) + f(ax) непрерывна на всей прямой.
Докажите, что f(x) также непрерывна на всей прямой.

Answer 1

Используем следующие свойства непрерывных функций: сумма и разность непрерывных функций непрерывна; если g(x) - непрерывная функция, то функция g(ax) также непрерывна. По условию функции f(x)+f(4x) и f(x)+f(2x) непрерывны. Вместе с функцией f(x)+f(2x) непрерывна функция f(2x)+f(4x). Поэтому непрерывна и функция (f(x)+f(2x))+(f(x)+f(4x))-(f(2x)+f(4x))=2f(x), а, значит, и функция f(x).

Answer 2

спасибо