четырёхугольник ABCD вписан в окружность, P-точка пересечения продолжений сторон AB и CD. Докажите, что AP*BP=CP*DP
Ответы
Ответ дал:
0
Пусть ∠BAD=y, ∠CDA=x. Тогда по свойству вписанного четырехугольника имем:
∠BAD+∠BCD=180⇒ ∠BCD=180-y,
∠CDA+∠ABC=180⇒ ∠ABC=180-x.
∠ABC и ∠PBC - смежные, значит, ∠PBC=180-∠BCD=180-180+x=x.
∠BCD и ∠BCP - смежные, значит, ∠BCP=180-∠BCD=180-180+y=y.
∠P - общий для треугольников BPC и ABP, а два других угла равны ⇒ треугольники подобны. Из подобия следует, что AP/CP=DP/BP ⇔ AP*BP=CP*DP. ч.т.д.
∠BAD+∠BCD=180⇒ ∠BCD=180-y,
∠CDA+∠ABC=180⇒ ∠ABC=180-x.
∠ABC и ∠PBC - смежные, значит, ∠PBC=180-∠BCD=180-180+x=x.
∠BCD и ∠BCP - смежные, значит, ∠BCP=180-∠BCD=180-180+y=y.
∠P - общий для треугольников BPC и ABP, а два других угла равны ⇒ треугольники подобны. Из подобия следует, что AP/CP=DP/BP ⇔ AP*BP=CP*DP. ч.т.д.
Приложения:
![](https://st.uroker.com/files/5e7/5e71fab36fa8b9fd9e474322b7899e83.png)
Вас заинтересует
1 год назад
1 год назад
6 лет назад
6 лет назад
8 лет назад
8 лет назад
8 лет назад