Question

lim(1/x)^tgx, x стремится к 0

Answer 1

$lim_{x to 0} ( frac{1}{x} )^{tgx}={ infty^0}$

Пусть  

$y=( frac{1}{x} )^{tgx}$

Прологарифмируем 
$lny=ln( frac{1}{x} )^{tgx} \ \ lny=tgx ln frac{1}{x} = tgx(ln1-lnx)=-tgx*lnx$

теперь найдем предел от ln(y)

$lim_{x to 0} lny= lim_{x to 0} (-tgx*lnx)= lim_{x to 0} (-frac{lnx}{ frac{1}{tgx} }) =-lim_{x to 0} (frac{lnx}{ frac{1}{tgx} }) = \ ={ frac{infty}{infty} }$

После того как перешли к неопределенности вида {∞/∞}
Можно воспользоваться правилом Лопиталя, то есть взять производную от числителя и отдельно взять производную от знаменателя до тех пор пока не уйдет неопределенность 

$-lim_{x to 0} frac{(lnx)'}{ (frac{1}{tgx})' }=-lim_{x to 0} frac{ frac{ 1 }{x} }{ frac{- frac{1}{cos^2x} }{tg^2x} }= -lim_{x to } frac{ frac{1}{x} }{- frac{1}{sin^2x} } = \ \ = -lim_{x to 0} -frac{sin^2x}{x} =lim_{x to 0} frac{(sin^2x)'}{x'}=lim_{x to 0} frac{2sinx*cosx}{1}=2sin0*cos0 \ \ =0*1=0$

Если lny=0, то y=e⁰=1
$lim_{x to 0} y= lim_{x to 0} ( frac{1}{x} )^{tgx}=1 \ \ OTBET: 1$