Question

Исследуйте функцию на возрастание (убывание) и экстремумы функцию y=x^2 ln x

Answer 1

y(x)=x^2lnx
Найдём производную:
y'(x)=$frac{ x^{2} }{x}$+2x*lnx
Для нахождения экстремумов приравняем производную к нулю:
$frac{ x^{2} }{x}$+2x*lnx=0
ОДЗ:
x≠0
Вынесем x за скобку:
x(2lnx+1)=0
Получаем 2 уравнения
1) x=0(Не удовлетворяет одз)
2)2lnx+1=0
2lnx=-1
lnx=-1/2
x=$e^{ frac{1}{2} }$=$frac{1}{ sqrt{e} }$
Точкой экстремума будет x=$frac{1}{ sqrt{e} }$
На интервале от 0 до $frac{1}{ sqrt{e} }$ значение производной меньше нуля, соответственно, функция убывает.
На интервале от $frac{1}{ sqrt{e} }$ до +∞ значение производной больше нуля, соответственно, функция возрастает.