Question

∫sqrt(x^2-1)/xdx. Помогите решить интеграл и показать способ как его решать. Должно совпасть с ответом sqtr(x^2-1) - arccos(1/x)+C.

Answer 1

$int frac{sqrt{x^2-1}}{x} dx=[x=frac{1}{cost},; dx=frac{sint}{cos^2t}, dt,; x^2-1=frac{1}{cos^2t}-1=tg^2t]=\\=int frac{sqrt{tg^2t}}{1/cost}cdot frac{sint}{cos^2t} dt=int frac{sint}{costcdot frac{1}{cost}} cdot frac{sint}{cos^2t} dt=int frac{sin^2t}{cos^2t} dt=\\=int frac{1-cos^2t}{cos^2t} dt=int (frac{1}{cos^2t}-1)dt=tgt-t+C=\\=tg(arccosfrac{1}{x})-arccosfrac{1}{x}+C=$

$=[tg(arccosA)=frac{sqrt{1-A^2}}{A},; A=frac{1}{x},;1-(frac{1}{x})^2=frac{x^2-1}{x^2}]=$

$=frac{sqrt{frac{x^2-1}{x^2}}}{frac{1}{x}}-arccosfrac{1}{x}+C=xcdot frac{sqrt{x^2-1}}{x}-arccos frac{1}{x}+C=\\=sqrt{x^2-1}-arccosfrac{1}{x}+C; ;$

Answer 2

спасибо))

Answer 3

А ответ не достоин "лучшего" ?