Question

Докажите неравенство (ab+3)(12/a + 1/b) ≥ 24, если a > 0, b > 0.

Answer 1

$(ab+3)( frac{12}{a}+ frac{1}{b} ) geq 24 \ frac{ab+3}{2} frac{ frac{12}{a}+ frac{1}{b}}{2} geq 6$
Теперь применим известное неравенство о том, что среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше их среднего геометрического:$frac{ab+3}{2} geq sqrt{3ab} \ frac{ frac{12}{a}+ frac{1}{b}}{2} geq sqrt{ frac{12}{ab} }$
Перемножим эти неравенства:
$frac{ab+3}{2} frac{ frac{12}{a}+ frac{1}{b}}{2} geq sqrt{3ab}sqrt{ frac{12}{ab} }=6$
Что и требовалось.