Question

Точка пересечения медиан треугольника равноудалена от его вершин. Докажите, что этот треугольник равносторонний.

Answer 1

Если точка пересечения медиан равноудалена от вершин, то эта точка является инцентром (точкой пересечения биисектрис и центром вписанной окружности).
Кроме этого, медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Те части, которые лежат за точкой пересечения, равны по условию, тогда и те части, которые в два раза больше равных частей, тоже равны.
Тогда точка пересечения медиан будет являтся точкой пересечения серединных перпендикуляров.
Тогда все медианы являются биссектрисами и высотами в треугольнике => треугольник является равносторонним.

Answer 2

спасибо огромное