Question

Треугольник абс- равнобедренный. Уравнения боковых сторон 3x+y=0 и -x+3y=0. Точка (5;0) лежит на основании. Найти координаты вершин треугольника

Answer 1

По уравнениям боковых сторон 3x+y=0 и -x+3y=0 видно, что они проходят  через начало координат - это одна из вершин треугольника: О(0;0).
Основание равнобедренного треугольника перпендикулярно его высоте (она же и биссектриса угла при вершине).
Находим уравнения биссектрис угла при вершине О:
$frac{A_1x+B_1y+C_1}{ sqrt{A_1^2+B_1^2} } =+- frac{A_2x+B_2y+C_2}{ sqrt{A_2^2+B_2^2} }$
1) (3х+у)/√10 = (-х+3у)/√10
    3х+у = -х+3у
    4х = 2у
     у = 2х  не подходит (проходит выше сторон треугольника).

2) (3х+у)/√10 = -(-х+3у)/√10
    3х+у = -(-х+3у)
    2х = -4у
     у = (-1/2)х.
    Уравнение перпендикулярной прямой у = 1/(-к)+в
    В нашем случае уравнение основания (назовём его АВ) будет таким:
    у = 1(1/2)х+в = 2х+в.
    Подставим координаты известной точки на основании (5;0):
    0 = 2*5+в  отсюда в = -10.
    Уравнение АВ: у = 2х-10  или 2х-у-10 = 0.
    Координаты вершин А и В находим как как точки пересечения боковых сторон с основанием.
$left { {3x+y=0} atop {2x-y-10=0}} right.$
Сложив уравнения, получаем 5х-10 = 0, отсюда х = 10/5 = 2.
у = -3х = -3*2 = -6. Это точка А(2; -6).
$left { {{-x+3y=0} atop {2x-y-10=0}} right.$
Умножим первое уравнение на 2 и сложим:
5у = 10,  у = 10/5 = 2,  х = 3у = 3*2 = 6.
Это точка В(6; 2).

Ответ: вершины треугольника  О(0;0), А(2;-6), В(6;2).