Question

Вычислить интегралы:
$intlimits^2_1 {x^{3}+2x+1 } , dx$
$intlimits^1_0 { frac{dx}{(3x+1)^4} } , dx$
$intlimits {x*lnx} , dx$


Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями:

x+2y-4=0; y=0; x= -3; x=2

Answer 1

$1)quad int limits _1^2(x^3+2x+1)dx=(frac{x^4}{4}+x^2+x)|_1^2=\\=4+4+2-(frac{1}{4}+1+1)=10-frac{1}{4}-2=7frac{3}{4}\\2)quad int limits _0^1frac{dx}{(3x+1)^4}=frac{(3x+1)^{-3}}{-3}; |_0^1=-frac{1}{3}(frac{1}{4^3}-frac{1}{1^3})=frac{1}{4}\\3); ; int xcdot lnx, dx=[; u=lnx,; du=frac{dx}{x},; dv=x, dx,; v=frac{x^2}{2}; ]=\\=[; int ; ucdot dv=uv-int ; vcdot du; ]=\\=frac{x^2}{2}cdot lnx-int frac{x}{2}dx= frac{x^2}{2}cdot lnx-frac{x^2}{4} +C$

$4)quad x+2y-4=0; ,; ; y=0; ,; x=-3; ,; ; x=2\\2y=-x+4; ,; ; y=-frac{x}{2}+2\\S=int limits _{-3}^2(-frac{x}{2}+2)dx=(-frac{x^2}{4}+2x)|_{-3}^2=-1+4-(-frac{9}{4}-6)=\\=3+6+frac{9}{4}=9+frac{9}{4}=frac{45}{4}=11,25$

Answer 2

Во 2 примере я забыла написать ещё коэффициент 1/3 перед первообразной. Тогда ответ будет: 1/12 .