Question

После броска вертикально вверх камень возвращается назад через время Т. Найти временной интервал между моментами прохождения камнем середины максимальной высоты при его подъёме и спуске. Сопротивлением воздуха пренебречь

Answer 1

Уравнение движения камня (ось Y вверх)

$y(t) = v_0t-gt^2/2$

Это парабола с ветвями вниз, а значит максимум достигается в вершине:

$t_{max} = -v_0/(-2g/2) = v_0/g\ y_{max} = y(t_{max}) = v_0^2/2g$

Теперь решим уравнение

$y(t) = y_{max}/2 = v_0^2/4g\\ v_0t-gt^2/2 = v_0^2/4g\ gt^2-2v_0t+v_0^2/2g = 0\\ D/4 = v_0^2 - v_0^2/2 = v_0^2/2\\ t_{1,2} = [v_0pm v_0/sqrt{2}]/g\\ t_2-t_1 = frac{2v_0}{sqrt{2}g}$

Само время всего полета находится как больший корень уравнения

$y(T) = 0\ v_0T-gT^2/2 = 0\ T = 2v_0/g\\ t_2-t_1 =frac{2v_0}{sqrt{2}g} = frac{Tsqrt{2}}{2}$