Question

Какова наименьшая возможная длина апофемы правильной треугольной пирамиды,имеющий объем 1 см^3 ?

Answer 1

Если треугольная пирамида правильная, то в основании лежит правильный треугольник.
Площадь правильного треугольника:
$S= frac{a^2 sqrt{3} }{4}$
где а - сторона треугольника.

Объем равен:
$V= frac{1}{3}*S*h$

Отсюда выражаем высоту h:
$h= frac{3V}{S}$
подставляем формулу площади треугольника и V=1 см³

$h= frac{3*1}{ frac{a^2 sqrt{3} }{4} }= frac{12}{a^2 sqrt{3} } = frac{4 sqrt{3} }{a^2}$

Апофему L можно найти по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, где катетами являются высота пирамиды h и радиус вписанной окружности r

$L= sqrt{h^2+r^2}$

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник:

$r= frac{a}{2 sqrt{3} } \ \ L= sqrt{h^2+r^2}= sqrt{(frac{4 sqrt{3} }{a^2})^2+( frac{a}{2 sqrt{3} })^2} = sqrt{ frac{48}{a^4} + frac{a^2}{12} }= sqrt{ frac{a^6+576}{12a^4} }$

В итоге получилась функция вида:
$L(a)= sqrt{ frac{a^6+576}{12a^4} }$

Чтобы найти наименьшее значение апофемы, то есть наименьшее значение функции L(a), нужно найти точку минимума. Для этого надо взять производную:

$L'(a)= frac{1}{2sqrt{ frac{a^6+576}{12a^4} }} * frac{6a^5*12a^4-48a^3(a^6+576)}{144a^8} = \ \ =frac{1}{2sqrt{ frac{a^6+576}{12a^4} }} * frac{72a^9-48a^9-27648a^3}{144a^8}= \ \ = frac{1}{2sqrt{ frac{a^6+576}{12a^4} }} * frac{24a^9-27648a^3}{144a^8} = frac{1}{2sqrt{ frac{a^6+576}{12a^4} }} * frac{24a^3(a^6-1152)}{144a^8} = \ \ = frac{1}{2sqrt{ frac{a^6+576}{12a^4} }} * frac{a^6-1152}{6a^5}$

Находим ОДЗ производной:
Подкоренное выражение должно быть больше либо равен нулю, но так как корень квадратный стоит в знаменателе, значит Подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.
Так как a⁶≥0 и а⁴≥0, значит 
$frac{ a^6+576}{12a^4} textgreater 0$ - при любых а, кроме а=0

Знаменатель не должен равняться нулю, значит
$1) a^4 neq 0; = textgreater a_{1,2,3,4} neq 0 \ \ 2) a^5 neq 0; = textgreater a_{1,2,3,4,5} neq 0$
теперь приравниваем производную к нулю
$frac{1}{2sqrt{ frac{a^6+576}{12a^4} }} * frac{a^6-1152}{6a^5} =0$

Было сказано, что 
$frac{ a^6+576}{12a^4} textgreater 0$

значит

$frac{1}{2sqrt{ frac{a^6+576}{12a^4} }} textgreater 0$

это выражение не имеет корней, поэтому все уравнение можно на него разделить:

$frac{a^6-1152}{6a^5} =0 \ \ a^6-1152=0 \ \ a^6=1152 \ \ a= ^+_-sqrt[6]{1152}$

Откладываем все корни уравнения и точки из ОДЗ на координатной оси и методом интервалов определяем точки минимума
$---[ - sqrt[6]{1152} ]+++(0)---[ sqrt[6]{1152} ]+++ textgreater a$
получились две точки минимума:

$a=sqrt[6]{1152} \ a=- sqrt[6]{1152}$

Вторая точка точка нам не подходит, так как сторона не может быть отрицательной.

Наконец находим минимальное значении функции, и тем самым наименьшую длину апофемы

 $L(sqrt[6]{1152} )= sqrt{ frac{(sqrt[6]{1152} )^6+576}{12*(sqrt[6]{1152} )^4} }= sqrt{ frac{1152+576}{12*1152^{ frac{4}{6} } } }= sqrt{ frac{1728}{12*1152^{ frac{2}{3}} }} = \ \ = sqrt{ frac{144}{1152^{ frac{2}{3}} } }= frac{ sqrt{144} }{ sqrt{1152^{ frac{2}{3} }} }= frac{12}{1152^{ frac{1}{3} }} = frac{12}{ sqrt[3]{1152} } \ \ OTBET: frac{12}{ sqrt[3]{1152} }$