Question

Задание. Исследовать функцию на непрерывность:

f(x)= x^3 + 1 / x^2 - 7x - 8

Answer 1

$f(x)= frac{x^3+1}{x^2-7x-8} \\x^2-7x-8=0; ; to ; ; x_1=-1,; ; x_2=8; ; (teorema; Vieta)\\f(x)= frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-8)}= frac{x^2-x+1}{x-8} ; ; pri; ; xne -1; ,; xne 8; .$

 1) При х=-1 функция не определена.

2) Ищем односторонние пределы:

$f(-1-0)=limlimits_{x to -1-0} f(x)=limlimits _{xto -1-0}frac{x^2-x+1}{x-8}=-frac{1}{3}\\f(-1+0)=limlimits _{xto -1+0}f(x)=limlimits _{xto -1+0}frac{x^2-x+1}{x-8}=-frac{1}{3}\\f(-1-0)=f(-1+0)$

$3); ; f(-1); ; -$  не существует . 

Функция при х=-1 терпит разрыв 1 рода ( устранимый ) .

Исследуем поведение функции при х=8.

1)  При х=8 функция не определена .

2) Найдём односторонние пределы:

$f(8-0)=limlimits _{xto 8-0} frac{x^2-x+1}{x-8} = frac{57}{-0}=-infty \\f(8+0)=lim limits _{xto 8+0} frac{x^2-x+1}{x-8} =frac{57}{+0}=+infty$

При х=8 функция терпит разрыв 2 рода. Причём, при стремлении х к 8 слева функция стремится к (-∞), а при стремлении х к 8 справа функция стремится к (+∞).