Question

При нагревании некоторого газа наиболее вероятная скорость
его молекул увеличилась от 400 до 800 м/с. Найти числовое значение
скорости молекул, количество которых не изменилось при нагревании.
Ответ: 665 м/с.

Answer 1

Наиболее вероятная скорость по Максвеллу выражается, как:

$v_p = sqrt{ frac{2RT}{ mu } } ;$

$frac{ mu }{2RT} = 1/v_p^2 ;$

А сама плотность распределения Максвелла гласит, что:

$f(v) = frac{ 4 v^2 }{ sqrt{ pi } } ( frac{ mu }{ 2RT } )^{3/2} exp{ frac{ - mu v^2 }{2RT} } = frac{ 4 v^2 }{ sqrt{ pi } cdot v_p^3 } exp{ frac{ -v^2 }{ v_p^2 } } ;$

Найдём равные плотности вероятности до и после нагревания:

$frac{ 4 v^2 }{ sqrt{ pi } cdot v_{p1}^3 } exp{ frac{ -v^2 }{ v_{p1}^2 } } = frac{ 4 v^2 }{ sqrt{ pi } cdot v_{p2}^3 } exp{ frac{ -v^2 }{ v_{p2}^2 } } ;$

$v_{p1}^3 exp{ frac{ v^2 }{ v_{p1}^2 } } = v_{p2}^3 exp{ frac{ v^2 }{ v_{p2}^2 } } ;$

$exp{ frac{ v^2 }{ v_{p1}^2 } } = ( frac{ v_{p2} }{ v_{p1} } )^3 exp{ frac{ v^2 }{ v_{p2}^2 } } ;$

$ln{ exp{ frac{ v^2 }{ v_{p1}^2 } } } = 3 ln{ frac{ v_{p2} }{ v_{p1} } } + ln{ exp{ frac{ v^2 }{ v_{p2}^2 } } } ;$

$frac{ v^2 }{ v_{p1}^2 } = 3 ln{ frac{ v_{p2} }{ v_{p1} } } + frac{ v^2 }{ v_{p2}^2 } ;$

$frac{ v^2 }{ v_{p1}^2 } - frac{ v^2 }{ v_{p2}^2 } = 3 ln{ frac{ v_{p2} }{ v_{p1} } } ;$

$v^2 ( frac{1}{ v_{p1}^2 } - frac{1}{ v_{p2}^2 } ) = 3 ln{ frac{ v_{p2} }{ v_{p1} } } ;$

$v^2 = frac{ 3 ln{ | v_{p2}/v_{p1} | } }{ 1/v_{p1}^2 - 1/v_{p2}^2 } ;$

$v = sqrt{ frac{ 3 ln{ | v_{p2}/v_{p1} | } }{ 1/v_{p1}^2 - 1/v_{p2}^2 } } approx sqrt{ frac{ 3 ln{ | 800/400 | } }{ 1/400^2 - 1/800^2 } } approx 800 sqrt{ ln{2} } approx 666$    м/с .

Answer 2

Все идеально, кроме ответа: Там в расчетах небольшая ошибка 665 м/с. А так, огромное спасибо:3

Answer 3

Да. Я уже и сама поняла, что корень из логарифма забыла извлечь, так что аналитически ответ верный, а арифметически – нет. По этой формуле как раз 666 м/с получается. Я как-то поле "ответ" у вас и не заметила. А то было бы с чем сверять. Рефлекс – знак вопроса восприняла, как конец условия задачи.

Answer 4

Да, все чудно. Очень выручаете с этим. Идеально верное решение теперь)