Question

Безграничная наклонная плоскость, составляет угол α=30 с горизонтом. На нем покоится монета. Коэффициент трения монеты о плоскость μ=√3/3. Монете сообщили начальную скорость v0, так, что вектор начальной скорости параллелен наклонной плоскости и наклонен под углом β=α=30 вниз к горизонтали. Спустя достаточно большое время, монета приобрела скорость v=3 см/с. Найдите величину скорости v0.

Answer 1

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную вниз вдоль плоскости (Ось x), и на ось, которая сонаправлена скорости тела в любой момент времени. Пусть угол между скоростью тела и горизонталью в произвольный момент времени составляет β', тогда

$displaystyle mfrac{Delta v_x}{Delta t} = mgsinalpha - mu m gcosalphasinbeta'\\mfrac{Delta v}{Delta t} = mgsinalphasinbeta' - mu m gcosalpha$


Учтите, что здесь угол бета-штрих - это функция от времени, но никак не постоянная величина. В начальный момент бета-штрих равен 30 градусов. Здесь уже сразу используется выражение для силы трения скольжения на наклонной плоскости (мю эм же косинус альфа) и корректно учтены проекции. Условие задачи и параметры подобраны так, что μ равен тангенсу угла наклона плоскости, и это надо использовать, иначе решать задачу будет в разы сложнее. Итак, имеем

$displaystyle mfrac{Delta v_x}{Delta t} = mgsinalpha(1-sinbeta')\\ mfrac{Delta v}{Delta t} = mgsinalpha(sinbeta' - 1) = -displaystyle mfrac{Delta v_x}{Delta t}\\Delta v = -Delta v_x$

Итак, мы получили важное соотношение для приращения проекции скорости и полной скорости. Теперь подумаем. В начале полная скорость была равна v0 (ее надо найти), а в конце станет v. Проекция на ось x в начальный момент равна v0 sinβ, а в конце будет тоже v, так как очевидно, что после прошествия большого промежутка времени скорость поперек плоскости гасится трением и остается только скорость вдоль плоскости. Поэтому, суммируя все приращения скорости мы получим

$displaystyle Delta v = -Delta v_x\ (v-v_0) = -(v-v_0sinbeta)\ v_0 = frac{2v}{1+sinbeta} = frac{4v}{3} = 4 (m/s)$