Question

1. В аттракционе "Мертвая петля" небольшие кабины соединены друг с другом в сцепку
длины L. Сцепка съезжает с горки, далее движется по горизонтальной поверхности и
затем попадает в вертикальную петлю радиуса R. Какую наименьшую высоту должна
иметь горка, чтобы сцепка могла благополучно проехать по этой петле? Считать, что
длина сцепки L>2πR. Трением пренебречь.
2. Чему равен наибольший КПД теплового двигателя, работающего по циклическому
процессу, который в осях (P,V) имеет вид прямоугольника, стороны которого
параллельны осям P и V. Рабочее тело одноатомный газ.

Answer 1

1. Пусть вся сцепка уже полностью заняла мёртвую петлю, поскольку потенциальная энергия не меняется, то все кабинки движутся с одной и той же скоростью по одному и тому же радиусу, а значит, имеют одинаковое центростремительное ускорение. Кабинки, находящиеся ниже центра петли вообще никак не могут упасть, поскольку опираются на рельсы, а вот кабинки, находящиеся выше центра мёртвой петли упасть в принципе могут. Найдём условие безотрывного движения отдельных кабинок. Рассмотрим только кабинки, находящиеся выше центра мёртвой петли, отстоящие от него на угол    $varphi .$    Поперечная к петле сила, действующая на кабинку, складывается из силы нормальной реакции и тяжести:

$ma_n = N + mg sin{ varphi } ;$

$a_n - g sin{ varphi } = frac{N}{m} geq 0 ;$

$a_n geq g sin{ varphi } ;$

$varphi leq arcsin{ {a_n}{g} } ;$

Т.е. при углах, меньше некоторого предельного уровня – отрыва не происходит. А значит, если отрыв не происходит при угле    $varphi approx 90^o ,$    т.е. в самой верхней точке, то отрыв не произойдёт ни в одной точке.

А если сцепка ещё не полностью заехала на петлю (или уже частично съехала), то тогда её потенциальная энергия не максимальна, а значит, кинетическая энергия больше минимальной, а скорость в любой точке больше, чем скорость полностью заехавшей сцепки. Так что если мы найдём условие безотрывного движения полностью заехавшей сцепки, то тогда и частично находящаяся на петле сцепка тоже гарантированно будет двигаться без отрыва:

Если сцепка заехала на петлю полностью, то масса, находящаяся на петле выразится, как:

$m = frac{ 2 pi R }{L} M ,$    где    $M$    – масса всей сцепки.

Из симметрии ясно, что средняя высота подъёма полностью занявшей петлю сцепки, равна    $R ,$    а значит, потенциальная энергия возрастёт по сравнению с горизонтальным участком на:

$U_o = mgR = 2 pi M g frac{ R^2 }{L} ;$

В то же время, когда сцепка находилась на горке, её потенциальная энергия была равна:

$U_h = M g h ;$

Кинетическая энергия сцепки, полностью занявшей петлю, будет:

$W_o = U_h - U_o = Mgh - 2 pi M g frac{ R^2 }{L} = frac{Mv^2}{2} ;$

$gh - 2 pi g frac{ R^2 }{L} = frac{v^2}{2} ;$

С другой стороны центростремительное ускорение в верхней точке:

$ma_n = mg + N ;$

$a_n - g = frac{N}{m} geq 0 ;$

$a_n geq g ;$

$frac{v^2}{R} geq g ;$

$frac{v^2}{2} geq frac{Rg}{2} ;$

А значит:

$gh - 2 pi g frac{ R^2 }{L} = frac{v^2}{2} geq frac{Rg}{2} ;$

$h geq frac{R}{2} + 2 pi frac{ R^2 }{L} ;$

ОТВЕТ:    $h_{min} = R ( frac{1}{2} + 2 pi frac{R}{L} ) ;$



2. Обозначим минимальный объём как:    $V ,$

а максимальное давление, как:    $p ,$

а их изменения, как:    $Delta V$    и    $Delta p ,$

Нагревание потребуется только на изохоре при минимальном объёме, и на изобаре при максимальном давлении. Итого, на нагревание уйдёт:

$Q = C_V cdot nu Delta T_V + C_P cdot nu Delta T_p = frac{3}{2} V Delta p + frac{5}{2} p Delta V ;$

Работа, вырабатываемая в цикле:

$A = Delta p Delta V ;$

КПД цикла:

$eta = frac{A}{Q} = frac{ Delta p Delta V }{ frac{3}{2} V Delta p + frac{5}{2} p Delta V } = 1/( frac{3V}{ 2 Delta V } + frac{5p}{ 2 Delta p } ) ;$

Для максимизации КПД, представляющего в данном случае дробь с числителем 1, нужно минимизировать знаменатель, т.е. каждое из его слагаемых. Первое слагаемое может стремиться к нулю, когда минимальное давление стремится к нулю. Второе слагаемое тем меньше, чем ближе разность давлений к максимальному давлению. А стало быть:

$eta_{max} = frac{ 1 }{ 5/2 } = 40 % .$