1. В аттракционе "Мертвая петля" небольшие кабины соединены друг с другом в сцепку
длины L. Сцепка съезжает с горки, далее движется по горизонтальной поверхности и
затем попадает в вертикальную петлю радиуса R. Какую наименьшую высоту должна
иметь горка, чтобы сцепка могла благополучно проехать по этой петле? Считать, что
длина сцепки L>2πR. Трением пренебречь.
2. Чему равен наибольший КПД теплового двигателя, работающего по циклическому
процессу, который в осях (P,V) имеет вид прямоугольника, стороны которого
параллельны осям P и V. Рабочее тело одноатомный газ.
Ответы
Ответ дал:
0
1. Пусть вся сцепка уже полностью заняла мёртвую петлю, поскольку потенциальная энергия не меняется, то все кабинки движутся с одной и той же скоростью по одному и тому же радиусу, а значит, имеют одинаковое центростремительное ускорение. Кабинки, находящиеся ниже центра петли вообще никак не могут упасть, поскольку опираются на рельсы, а вот кабинки, находящиеся выше центра мёртвой петли упасть в принципе могут. Найдём условие безотрывного движения отдельных кабинок. Рассмотрим только кабинки, находящиеся выше центра мёртвой петли, отстоящие от него на угол
Поперечная к петле сила, действующая на кабинку, складывается из силы нормальной реакции и тяжести:
![ma_n = N + mg sin{ varphi } ; ma_n = N + mg sin{ varphi } ;](https://tex.z-dn.net/?f=+ma_n+%3D+N+%2B+mg+sin%7B+varphi+%7D++%3B+)
![a_n - g sin{ varphi } = frac{N}{m} geq 0 ; a_n - g sin{ varphi } = frac{N}{m} geq 0 ;](https://tex.z-dn.net/?f=+a_n+-+g+sin%7B+varphi+%7D+%3D+frac%7BN%7D%7Bm%7D+geq+0++%3B+)
![a_n geq g sin{ varphi } ; a_n geq g sin{ varphi } ;](https://tex.z-dn.net/?f=+a_n+geq+g+sin%7B+varphi+%7D++%3B+)
![varphi leq arcsin{ {a_n}{g} } ; varphi leq arcsin{ {a_n}{g} } ;](https://tex.z-dn.net/?f=+varphi+leq+arcsin%7B+%7Ba_n%7D%7Bg%7D+%7D++%3B+)
Т.е. при углах, меньше некоторого предельного уровня – отрыва не происходит. А значит, если отрыв не происходит при угле
т.е. в самой верхней точке, то отрыв не произойдёт ни в одной точке.
А если сцепка ещё не полностью заехала на петлю (или уже частично съехала), то тогда её потенциальная энергия не максимальна, а значит, кинетическая энергия больше минимальной, а скорость в любой точке больше, чем скорость полностью заехавшей сцепки. Так что если мы найдём условие безотрывного движения полностью заехавшей сцепки, то тогда и частично находящаяся на петле сцепка тоже гарантированно будет двигаться без отрыва:
Если сцепка заехала на петлю полностью, то масса, находящаяся на петле выразится, как:
где
– масса всей сцепки.
Из симметрии ясно, что средняя высота подъёма полностью занявшей петлю сцепки, равна
а значит, потенциальная энергия возрастёт по сравнению с горизонтальным участком на:
![U_o = mgR = 2 pi M g frac{ R^2 }{L} ; U_o = mgR = 2 pi M g frac{ R^2 }{L} ;](https://tex.z-dn.net/?f=+U_o+%3D+mgR+%3D+2+pi+M+g+frac%7B+R%5E2+%7D%7BL%7D++%3B+)
В то же время, когда сцепка находилась на горке, её потенциальная энергия была равна:
![U_h = M g h ; U_h = M g h ;](https://tex.z-dn.net/?f=+U_h+%3D+M+g+h++%3B+)
Кинетическая энергия сцепки, полностью занявшей петлю, будет:
![W_o = U_h - U_o = Mgh - 2 pi M g frac{ R^2 }{L} = frac{Mv^2}{2} ; W_o = U_h - U_o = Mgh - 2 pi M g frac{ R^2 }{L} = frac{Mv^2}{2} ;](https://tex.z-dn.net/?f=+W_o+%3D+U_h+-+U_o+%3D+Mgh+-+2+pi+M+g+frac%7B+R%5E2+%7D%7BL%7D+%3D+frac%7BMv%5E2%7D%7B2%7D++%3B+)
![gh - 2 pi g frac{ R^2 }{L} = frac{v^2}{2} ; gh - 2 pi g frac{ R^2 }{L} = frac{v^2}{2} ;](https://tex.z-dn.net/?f=+gh+-+2+pi+g+frac%7B+R%5E2+%7D%7BL%7D+%3D+frac%7Bv%5E2%7D%7B2%7D++%3B+)
С другой стороны центростремительное ускорение в верхней точке:
![ma_n = mg + N ; ma_n = mg + N ;](https://tex.z-dn.net/?f=+ma_n+%3D+mg+%2B+N++%3B+)
![a_n - g = frac{N}{m} geq 0 ; a_n - g = frac{N}{m} geq 0 ;](https://tex.z-dn.net/?f=+a_n+-+g+%3D+frac%7BN%7D%7Bm%7D+geq+0++%3B+)
![a_n geq g ; a_n geq g ;](https://tex.z-dn.net/?f=+a_n+geq+g++%3B+)
![frac{v^2}{R} geq g ; frac{v^2}{R} geq g ;](https://tex.z-dn.net/?f=+frac%7Bv%5E2%7D%7BR%7D+geq+g++%3B+)
![frac{v^2}{2} geq frac{Rg}{2} ; frac{v^2}{2} geq frac{Rg}{2} ;](https://tex.z-dn.net/?f=+frac%7Bv%5E2%7D%7B2%7D+geq+frac%7BRg%7D%7B2%7D++%3B+)
А значит:
![gh - 2 pi g frac{ R^2 }{L} = frac{v^2}{2} geq frac{Rg}{2} ; gh - 2 pi g frac{ R^2 }{L} = frac{v^2}{2} geq frac{Rg}{2} ;](https://tex.z-dn.net/?f=+gh+-+2+pi+g+frac%7B+R%5E2+%7D%7BL%7D+%3D+frac%7Bv%5E2%7D%7B2%7D+geq+frac%7BRg%7D%7B2%7D++%3B+)
![h geq frac{R}{2} + 2 pi frac{ R^2 }{L} ; h geq frac{R}{2} + 2 pi frac{ R^2 }{L} ;](https://tex.z-dn.net/?f=+h+geq+frac%7BR%7D%7B2%7D+%2B+2+pi+frac%7B+R%5E2+%7D%7BL%7D++%3B+)
ОТВЕТ:![h_{min} = R ( frac{1}{2} + 2 pi frac{R}{L} ) ; h_{min} = R ( frac{1}{2} + 2 pi frac{R}{L} ) ;](https://tex.z-dn.net/?f=+h_%7Bmin%7D+%3D+R+%28+frac%7B1%7D%7B2%7D+%2B+2+pi+frac%7BR%7D%7BL%7D+%29++%3B+)
2. Обозначим минимальный объём как:![V , V ,](https://tex.z-dn.net/?f=+V++%2C+)
а максимальное давление, как:![p , p ,](https://tex.z-dn.net/?f=+p++%2C+)
а их изменения, как:
и ![Delta p , Delta p ,](https://tex.z-dn.net/?f=+Delta+p++%2C+)
Нагревание потребуется только на изохоре при минимальном объёме, и на изобаре при максимальном давлении. Итого, на нагревание уйдёт:
![Q = C_V cdot nu Delta T_V + C_P cdot nu Delta T_p = frac{3}{2} V Delta p + frac{5}{2} p Delta V ; Q = C_V cdot nu Delta T_V + C_P cdot nu Delta T_p = frac{3}{2} V Delta p + frac{5}{2} p Delta V ;](https://tex.z-dn.net/?f=+Q+%3D+C_V+cdot+nu+Delta+T_V+%2B+C_P+cdot+nu+Delta+T_p+%3D+frac%7B3%7D%7B2%7D+V+Delta+p+%2B+frac%7B5%7D%7B2%7D+p+Delta+V++%3B+)
Работа, вырабатываемая в цикле:
![A = Delta p Delta V ; A = Delta p Delta V ;](https://tex.z-dn.net/?f=+A+%3D+Delta+p+Delta+V++%3B+)
КПД цикла:
![eta = frac{A}{Q} = frac{ Delta p Delta V }{ frac{3}{2} V Delta p + frac{5}{2} p Delta V } = 1/( frac{3V}{ 2 Delta V } + frac{5p}{ 2 Delta p } ) ; eta = frac{A}{Q} = frac{ Delta p Delta V }{ frac{3}{2} V Delta p + frac{5}{2} p Delta V } = 1/( frac{3V}{ 2 Delta V } + frac{5p}{ 2 Delta p } ) ;](https://tex.z-dn.net/?f=+eta+%3D+frac%7BA%7D%7BQ%7D+%3D+frac%7B+Delta+p+Delta+V+%7D%7B+frac%7B3%7D%7B2%7D+V+Delta+p+%2B+frac%7B5%7D%7B2%7D+p+Delta+V+%7D+%3D+1%2F%28+frac%7B3V%7D%7B+2+Delta+V+%7D+%2B+frac%7B5p%7D%7B+2+Delta+p+%7D+%29++%3B+)
Для максимизации КПД, представляющего в данном случае дробь с числителем 1, нужно минимизировать знаменатель, т.е. каждое из его слагаемых. Первое слагаемое может стремиться к нулю, когда минимальное давление стремится к нулю. Второе слагаемое тем меньше, чем ближе разность давлений к максимальному давлению. А стало быть:
![eta_{max} = frac{ 1 }{ 5/2 } = 40 % . eta_{max} = frac{ 1 }{ 5/2 } = 40 % .](https://tex.z-dn.net/?f=+eta_%7Bmax%7D+%3D+frac%7B+1+%7D%7B+5%2F2+%7D+%3D+40+%25++.+)
Т.е. при углах, меньше некоторого предельного уровня – отрыва не происходит. А значит, если отрыв не происходит при угле
А если сцепка ещё не полностью заехала на петлю (или уже частично съехала), то тогда её потенциальная энергия не максимальна, а значит, кинетическая энергия больше минимальной, а скорость в любой точке больше, чем скорость полностью заехавшей сцепки. Так что если мы найдём условие безотрывного движения полностью заехавшей сцепки, то тогда и частично находящаяся на петле сцепка тоже гарантированно будет двигаться без отрыва:
Если сцепка заехала на петлю полностью, то масса, находящаяся на петле выразится, как:
Из симметрии ясно, что средняя высота подъёма полностью занявшей петлю сцепки, равна
В то же время, когда сцепка находилась на горке, её потенциальная энергия была равна:
Кинетическая энергия сцепки, полностью занявшей петлю, будет:
С другой стороны центростремительное ускорение в верхней точке:
А значит:
ОТВЕТ:
2. Обозначим минимальный объём как:
а максимальное давление, как:
а их изменения, как:
Нагревание потребуется только на изохоре при минимальном объёме, и на изобаре при максимальном давлении. Итого, на нагревание уйдёт:
Работа, вырабатываемая в цикле:
КПД цикла:
Для максимизации КПД, представляющего в данном случае дробь с числителем 1, нужно минимизировать знаменатель, т.е. каждое из его слагаемых. Первое слагаемое может стремиться к нулю, когда минимальное давление стремится к нулю. Второе слагаемое тем меньше, чем ближе разность давлений к максимальному давлению. А стало быть:
Вас заинтересует
1 год назад
1 год назад
6 лет назад
6 лет назад
8 лет назад
8 лет назад
9 лет назад
9 лет назад