Question

вычислить предел при x->1 (3^(5x-3)-3^(2x^2))/(ln(5x^(2)-4x) не пользуясь правилом Лопиталя.

Answer 1

Чтобы корректно отображались формулы зайти следует через браузер, а не через приложение!
Для начала используем известное следствие из вт-ого зам-ого предела$lim_{a to 0} frac{ln(1+a)}{a} =1$:
$lim_{x to 1} frac{3^{5x-3}-3^{2x^2}}{ln(5x^2-4x)} = lim_{x to 1} frac{(3^{5x-3}-3^{2x^2})(5x^2-4x-1)}{ln(1+(5x^2-4x-1))(5x^2-4x-1)} =...$
5x²-4x-1 ->0 при x->1, поэтому дробь (5x²-4x-1)/ln(1+(5x^2-4x-1))->1. Значит
$...= lim_{x to 1} frac{3 ^{5x-3}-3^{2x^2}}{5x^2-4x-1} = lim_{x to 1} frac{3 ^{5x-3}(1-3^{2x^2-5x+3})}{5x^2-4x-1} = \ =-9lim_{x to 1} frac{3^{2x^2-5x+3}-1}{5x^2-4x-1}=...$
Тут пригодится еще одно (их аж 6) следствие из второго замечательного предела: $lim_{a to 0} frac{k^a-1}{alnk} =1$
$...=-9lim_{x to 1} frac{(3^{2x^2-5x+3}-1)(2x^2-5x+3)ln3}{(5x^2-4x-1)(2x^2-5x+3)ln3}=-9ln3 lim_{x to 1} frac{2x^2-5x+3}{5x^2-4x-1} = \ =-9ln3 lim_{x to 1} frac{(x-1)(2x-3)}{(x-1)(5x+1)} = \ =-9ln3 lim_{x to 1} frac{2x-3}{5x+1} = frac{3ln3}{2} =ln sqrt{27}$