Question

В правильном треугольнике со стороной, равной а, вписана окружность, к которой проведена касательная, параллельная основанию. Этой касательной отсекается опять правильный треугольник, в который вписана окружность и так до бесконечности. Написать общий член последовательности радиусов окружностей, построенных таким образом.

Answer 1

Как известно, в правильном треугольнике высота равна
h=a√3/2, а радиус вписанной окружности r = h/3 = а√3/6.
На втором шаге, после отсечения, новый треугольник будет иметь
высоту h(2) = h-2a = a√3/2 -2а√3/6 =  a√3/6 = (a√3/2)/3 = h/3.
Интересно отметить, что новая высота в 3 раза меньше исходной и равна радиусу вписанной окружности в исходный треугольник, а радиус новой вписанной окружности
r(2) = h(2)/3 = (a√3/6)/3 = r/3 - тоже в 3 раза меньше исходного радиуса вписанной окружности.
В дальнейшем, в результате последовательности отсечений, стороны, высоты и
радиусы вписанных окружностей создадут геометрические последовательности со знаменателем прогрессии 1/3.
На n-ом шаге радиус вписанной окружности
r(n) = r/3^(n-1) = (a√3/6)/3^(n-1) = a√3/(2*3^n),
где знак ^ означает возведение в степень. 
Это исправленное решение с учетом моих комментариев от 06.01.17.

Answer 2

В моем ответе содержится неточность при общем правильном ходе решения. В исходном треугольнике радиус вписанной окружности, как правильно указано, равен r = а√3/6. На втором шаге, после отсечения, высота треугольника будет равна h-2a = a√3/2 -а*2√3/6 = a√3/6, а радиус вписанной окружности будет равен r(2) = h(2)/3 = а√3/(2*3^2). На n-ом шаге r(n) = a√3/(2*3^n). Извините, поторопился с ответом.

Answer 3

Получается так, что на каждом шаге отсечения новая высота треугольника равна предыдущему радиусу вписанной окружности. Поэтому новые высоты и радиусы каждый раз уменьшаются в 3 раза и образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 1/3.

Answer 4

Текст ответа в окне "Ответы и объяснения" исправлен с учетом моих комментариев.